Cálculo vectorial
Magnitudes escalares y vectoriales
En la definición de las medidas físicas se usan dos tipos de magnitudes:
- Magnitudes escalares, que quedan completamente definidas mediante un número, como pueden ser la temperatura, el tiempo y la densidad.
- Magnitudes vectoriales, para las que se precisa un valor numérico, una dirección y un sentido de aplicación, tal como sucede con la velocidad, la aceleración o la fuerza.
Vectores
Las magnitudes vectoriales se especifican mediante entidades matemáticas llamadas vectores, que se caracterizan por tres propiedades:
- Módulo, una cantidad numérica siempre positiva que expresa la intensidad de la magnitud. Para el vector
, su módulo se expresa || o, simplemente, a. - Dirección, o recta que contiene al segmento que mide la magnitud vectorial.
- Sentido, u orientación de la magnitud dentro del segmento de dirección.
Suma y diferencia de vectores
Cuando se opera con magnitudes vectoriales se han de cumplir los principios del álgebra vectorial. La operación más sencilla realizada con vectores es la suma, que produce un nuevo vector construido, de forma que:
- Se coloca el origen del segundo vector sobre el extremo del primero.
- En la posición anterior, el vector suma se obtiene de modo que su origen coincide con el del primero y su extremo con el extremo del segundo vector sumado.
Suma de dos vectores. (a) Se lleva el segundo vector sobre el extremo del primero. (b) Después, se traza el vector suma 
Otras dos operaciones sencillas del álgebra vectorial son las siguientes:
- La diferencia entre vectores, que se obtiene como la suma del primer vector y del opuesto del segundo (aquel vector que tiene igual módulo y dirección que éste pero sentido contrario).
- El producto de un escalar (un número) por un vector produce un nuevo vector con la misma dirección y sentido que el original, módulo igual al del vector multiplicado por el número y sentido idéntico cuando el escalar es positivo y opuesto si es negativo.
Representación cartesiana de vectores
Las magnitudes vectoriales pueden representarse en el plano o en el espacio definiendo un sistema de referencia con un origen O y dos (en representación planar) o tres (en el espacio) ejes mutuamente perpendiculares de referencia, llamados cartesianos y denotados comúnmente por las letras X, Y, Z. Sobre cada uno de estos ejes se define un vector unitario simbolizado por 
, respectivamente (o comúnmente 
).
Componentes de un vector en un sistema de referencia tridimensional.
En función de su representación cartesiana, un vector se expresa como:
Producto escalar de dos vectores
Una operación de gran importancia en física es el producto escalar de dos vectores, que es un escalar que se calcula como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo a que forman entre sí:
Si se escriben los vectores en función de sus componentes , 
, el producto escalar se puede obtener como:
Producto vectorial de dos vectores
En los modelos físicos se utiliza una importante operación del álgebra vectorial denominada producto vectorial de dos vectores (simbolizado por X o por L) cuyo resultado es un nuevo vector con las siguientes características:
- El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman entre sí.
- La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que forman los dos vectores iniciales.
- El sentido del producto vectorial es aquel que seguiría un tornillo de rosca a derechas si se llevara desde el primer vector al segundo.
Escrito en función de los componentes de los vectores, el producto vectorial se expresa como:
Tipos de vectores
Un vector se llama ligado cuando se asocia a un punto fijo de un sistema (por ejemplo, la velocidad en los puntos de un cuerpo en movimiento). En cambio, los vectores deslizantes son aquellos que pueden aplicarse indistintamente en varios puntos del cuerpo o sistema considerado (por ejemplo, en los movimientos de rotación). Las operaciones del álgebra vectorial (suma, diferencia, productos vectoriales y escalares) se aplican sobre todo a vectores deslizantes.
Equivalencia de vectores
Vectores equivalentes.
Dos vectores se dicen iguales o, también, equivalentes o equipolentes cuando al transportar uno de ellos paralelamente a sí mismo se puede hacer coincidir con el otro.
Funciones vectoriales de un escalar
En física son frecuentes las funciones matemáticas que expresan el valor de una magnitud vectorial que varía según una ley que la vincula a un escalar. Así sucede, por ejemplo, con el vector que describe la posición de un punto móvil con respecto a uno fijo, que suele variar con el tiempo y se llama vector de posición 
(t).
Momento de un vector con respecto a un punto
El momento de un vector 
con respecto a un punto P se define como el producto vectorial dado por:
, siendo el vector de posición del punto. Esta magnitud tiene importancia en múltiples aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la fuerza ejercida para abrir una puerta entornada tiene mayor efecto si se aplica lejos de los goznes (el momento del vector es mayor) que cerca de las bisagras.
