El péndulo. Movimientos armónicos compuestos
Péndulo simple
Un péndulo simple es un sistema constituido por un objeto material, llamado lenteja, suspendido de un hilo, que se considera inextensible y sin masa, y sujeto a un punto fijo en uno de sus extremos. La única acción externa ejercida sobre este sistema es el peso del objeto, que alcanza el equilibrio en una posición perfectamente vertical, donde el peso compensa exactamente la tensión del hilo.
Si se desvia la posición del cuerpo un cierto ángulo con respecto a la vertical, empieza a oscilar en un movimiento que se asemeja bastante, al movimiento armonico simple cuando los ángulos de desplazamiento son pequeños.
En un péndulo en movimiento, el peso se puede descomponer en dos elementos:- La componente en la dirección del movimiento, o fuerza tangencial (FD).
- Una componente perpendicular a la anterior (FP), que está compensada por la tensión del hilo (FT).
Cuando los desplazamientos de la lenteja con respecto a la vertical son pequeños, el movimiento pendular se corresponde aproximadamente con un movimiento armónico simple cuyo período T es:
Esquema de un péndulo simple, formado por un cuerpo suspendido de un hilo inextensible cuya masa se considera insignificante.
Tensión del hilo
En un movimiento pendular, la tensión del hilo no se mantiene constante. En cada momento, la fuerza centrípeta neta que actúa sobre la lenteja será la suma de la tensión del hilo más la componente perpendicular del peso:
Como el movimiento es circular y todas las fuerzas anteriores tienen la misma dirección, se deduce la siguiente ecuación para los módulos de las fuerzas:
Movimiento armónico compuesto
En la naturaleza son frecuentes las oscilaciones periódicas que no se corresponden con movimientos armónicos simples, sino que pueden describirse como la superposición de movimientos con frecuencias que son múltiplos unas de otras. Estas clases de oscilaciones reciben el nombre de movimientos armónicos compuestos.
La ecuación de la función espacial de un movimiento armónico compuesto puede escribirse del modo siguiente:
Período de un movimiento armónico compuesto, que se corresponde con el del armónico simple de período más largo.
En un movimiento armónico compuesto pueden distinguirse varios componentes:
- El primer sumando de la serie, que tiene la menor frecuencia de todos, recibe el nombre de armónico fundamental.
- Los restantes sumandos se denominan armónicos secundarios.
Y este fenómeno de los armónicos superpuestos es relativamente frecuente en la naturaleza y se aprecia claramente, por ejemplo, en los acordes musicales.
Descripción de Fourier
En relación con la descripción del movimiento armónico compuesto, el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda oscilación de período T puede considerarse un movimiento armónico compuesto formado por una serie finita o infinita de sumandos de movimientos armónicos simples, cuyas frecuencias sucesivas son:
En esta descripción, los primeros términos de la serie, con frecuencias más bajas, son mucho más intensos que los de frecuencias altas y tienen mayor importancia en la descripción real del movimiento oscilatorio.
Ilustración gráfica de las series de Fourier para oscilaciones periódicas. Como puede verse, el movimiento real de la segunda gráfica puede reproducirse con bastante exactitud mediante una suma de un número limitado de armónicos simples.
El péndulo de Galileo
La fuerza que provoca la oscilación del péndulo es la componente del peso en el sentido del movimiento. Esta componente se denomina tangencial.
La primera descripción del movimiento pendular se debe al científico italiano Galileo Galilei, quien hacia 1583 observó la regularidad del movimiento de una lámpara colgada del techo de la catedral de Pisa y lo midió con su propio pulso. Aunque la invención del reloj de péndulo se ha atribuido también a Galileo, numerosos historiadores sostienen que fue el neerlandés Christiaan Huygens el primero en construir, en 1656, un artefacto de estas características.
Armónicos musicales
El fenómeno de los armónicos del sonido ha sido fundamental para el desarrollo de la música en Occidente. Por ejemplo, al pulsar la tecla Do del piano, no sólo se escucha el sonido correspondiente a la misma (la nota llamada fundamental), sino que la cuerda metálica pulsada genera también, aunque con menor intensidad, sonidos con frecuencias iguales a múltiplos de la anterior: primero un Do una octava superior, después un Sol, más tarde un Mi, y así sucesivamente. En este principio se basa el uso de los acordes, o grupos de tres o más notas (por ejemplo, Do-Mi-Sol), sobre los que se sustentan los pasajes de la música clásica y popular, basados en una sucesión de tensiones («disonancias ») y resoluciones de acordes (recuperación de la «consonancia» dentro de la tonalidad).
Joseph Fourier
El matemático francés Joseph Fourier (1768- 1830), que también era un reconocido egiptólogo, postuló una interesante hipótesis sobre la teoría del calor, aunque es particularmente conocido por sus desarrollos matemáticos aplicados a las oscilaciones periódicas.
