Números racionales
Números fraccionarios
Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b Î Z, que se expresa también como 
, tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:
- Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador.Por ejemplo:
etcétera. - Fracciones impropias, en caso contrario.Por ejemplo,
etcétera.
Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, 
puede escribirse también como la suma de 1 y
, que corresponde al número mixto 1.
Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: 
, siendo c el cociente y r el resto de la división.
El conjunto de los números racionales
El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de modo que a cada par (z1, z2) le hace corresponder un número racional z definido como z = z1/z2. Por ejemplo, los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número racional 1/3.
Representación de los números racionales
El conjunto Q de los números racionales se representa, al igual que el de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir, el conjunto de los números racionales está ordenado.
Representación gráfica del conjunto Q.
Operaciones con números racionales
En el conjunto de los números racionales se definen dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números racionales a = (a1, a2) y b = (b1, b2), la suma se define como:
El producto de dos números racionales se obtiene como:
Expresión decimal de una fracción
Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la división correspondiente entre el numerador y el denominador. Entonces, se distingue entre:
- Expresiones decimales exactas, que corresponden a las fracciones decimales aquellas que su denominador es una potencia de 10) y a las fracciones que son equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo
- Expresiones decimales periódicas, divididas a su vez en dos grupos: periódicas puras, en las que el periodo empieza inmediatamente después de la coma (por ejemplo,
, y periódicas mixtas, en las que el periodo no se inicia justo después de la coma (como sucede en
Expresión fraccionaria de un número decimal
Dado un número decimal o exacto o de naturaleza periódica (ya sea pura o mixta), siempre es posible hallar una fracción que lo represente, llamada su fracción generatriz. Cuando el decimal es exacto, la fracción generatriz se calcula colocando en el numerador el número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya; si es periódico puro o mixto, se procede según el ejemplo.
El papiro de Rhind
Las fracciones ya eran conocidas por los antiguos egipcios. Así lo atestigua un papiro de 3.700 años de antigüedad en el que se leía «AH, el total y su séptima parte hacen 19». Este importante vestigio histórico fue adquirido en 1858 en una tienda de Luxor por el anticuario escocés Henry Rhind.
Los números irracionales
Dados dos números racionales cualesquiera, siempre es posible hallar un nuevo número racional comprendido entre los dos; por ejemplo, entre m y n está el número racional
(m + n)/2. Sin embargo, los números racionales no llenan toda la recta. ¿Cómo se entiende esto? Basta con imaginar algunos números que, como P o la raíz cuadrada de 2, no pueden expresarse como fracciones. Los números de esta clase se llaman irracionales y se «intercalan» en la recta en los huecos que existen entre los elementos del conjunto Q.
Notación de los números decimales
El primero en utilizar una notación sistemática para expresar los números decimales fue el matemático flamenco Simon Stevin
(1548-1620). No obstante, la versión actual de esta notación se debe a Willbord Suellius, quien vivió en los Países Bajos en el siglo XVII.
Errores en expresiones fraccionarias
Cuando la expresión decimal de una fracción es un número decimal periódico, es frecuente efectuar aproximaciones de dicho resultado. Por ejemplo, 1/3 = 0,333333..., que, en casos prácticos, podría escribirse simplemente como 0,33. Entonces, se habrá introducido un error en el valor, que puede medirse en términos absolutos (error absoluto, igual a la diferencia entre el valor real y el aproximado) o relativos (cociente entre el error absoluto y el valor real, comúnmente expresado en porcentaje).