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Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones con varias incógnitas

Sistemas de ecuaciones cuadráticas

Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales (ver t6). Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:

• Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
• Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
• Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.

Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.

Resolución por métodos gráficos

Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por métodos gráficos. Para ello, ha de tenerse en cuenta que:

• Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.
• Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de curvas cónicas, ya sean circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.

Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:

• Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos puntos, el sistema es compatible determinado.
• Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado.
• Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano, el sistema es incompatible (carece de solución).

Inecuaciones lineales con varias incógnitas

Una inecuación lineal con varias incógnitas responde a la fórmula general siguiente:

ax + by + cz + ... + d < 0 (inecuación en sentido estricto), o bienax + by + cz + ... + d £ 0 (inecuación en sentido amplio).

Para obtener la solución de la inecuación, se despeja una de las incógnitas. Por ejemplo, en una inecuación lineal con dos incógnitas, del tipo ax + by + c < 0, despejando se obtendría que: y < (-ax - c)/b.

Esta solución tiene una interpretación gráfica interesante si se considera que la igualdad y = (-ax - c)/b corresponde una recta en el plano. Por tanto, la desigualdad para el signo menor (<) incluye todos los puntos del plano situados por debajo de dicha recta. Así, la resolución de una inecuación lineal es un semiplano, tal que:

• Si se trata de una inecuación en sentido estricto, no incluye a los puntos de la recta que limita al semiplano.
• Si es una desigualdad en sentido amplio, los puntos de la recta son también soluciones de la inecuación.

Sistemas de inecuaciones y ecuaciones lineales

Dado un sistema formado por una inecuación lineal y una ecuación también lineal, la solución es el conjunto de puntos de la semirrecta que representa a la ecuación lineal contenida en el semiplano solución de la inecuación.

Cuando el sistema está formado por dos inecuaciones lineales, la solución es la porción del plano que contiene los dos semiplanos correspondientes a la solución de cada una de las inecuaciones.