Matemáticas financieras
Interés, rédito y capital
Una de las aplicaciones más sencillas de las matemáticas a la economía financiera es el cálculo de los intereses asociados al préstamo de un cierto capital. En este contexto, se manejan varios conceptos esenciales:
- El capital es la cantidad que se presta.
- El rédito es el precio que se paga durante una cierta unidad de tiempo por un cierto número de unidades de capital prestado. El rédito se expresa en porcentaje o en tanto por uno. Por ejemplo, puede hablarse de un rédito anual del 5%.
- Intereses es la diferencia entre la cantidad inicial (prestada) y la final (devuelta). Estos conceptos se manejan comúnmente en dos tipos de situaciones:
- Un cliente (prestatario) solicita un préstamo a una entidad financiera (prestamista). Esta entidad cobra intereses, según diversos sistemas y posibilidades, al prestatario, al tiempo que éste va devolviendo el capital recibido.
- El cliente cede su dinero a la entidad financiera, que se compromete a ofrecer a cambio un interés. Esta modalidad se conoce como ahorro.
Interés simple
El caso más sencillo de una operación de préstamo o ahorro se produce cuando el capital se coloca a un interés simple, entendido como aquel en el que las ganancias se van retirando y no se acumulan al capital. Si C0 es el capital inicial, r el rédito expresado en tanto por 1 y t el tiempo de depósito, el interés simple producido se calcula como:
i = C0 × r × t.
El capital final se determina como la suma del capital inicial más el interés producido.
C = C0 + i.
Interés compuesto
Si los intereses producidos por un préstamo o ahorro no se retiran, sino que se acumulan al capital inicial para incrementar las ganancias, se habla de interés compuesto.
La fórmula utilizada para calcular el capital final C, que renta un capital inicial C0, colocado a un rédito r expresado en tanto por 1, durante n periodos anuales, durante t años, es la siguiente:
Anualidad de capitalización
Un ejemplo particular de operación financiera a interés compuesto es la denominada anualidad de capitalización. En este procedimiento, el cliente deposita cada principio de año una cantidad fija (la anualidad de capitalización) en la entidad financiera, que no retira hasta el fin del plazo acordado, de manera que al cabo del mismo ha producido un capital acumulado.
Suponiendo que la anualidad de capitalización es C0 y que el plazo acordado es t años, y dado que los periodos contemplados son de un año (luego n = 1), por la fórmula del interés compuesto la primera anualidad producirá, al cabo de los t años, un capital igual a C0 (1 + r)t; la segunda anualidad estará invertida un año menos, con lo que su capital será C0 (1 + r)t-1; para la tercera, C0 (1 + r)t-2; y así sucesivamente, hasta la última anualidad, que producirá un capital de C0 (1 + r).
El capital final acumulado se calcula como la suma de los términos de una progresión geométrica «invertida» (de mayor a menor) cuyo primer término fuera C0 (1 + r) con una razón igual a (1 + r). Por tanto:
Amortización de préstamos
Otro caso práctico común asociado al interés compuesto es la amortización de préstamos. Normalmente, cuando se solicita un crédito a un banco se establece un plazo de amortización (vencimiento) para el mismo de varios años, durante los cuales el prestatario va devolviendo parte del crédito al tiempo que abona los intereses.
Por tanto, según se devuelve el crédito, se va reduciendo el capital prestado, y (si se mantiene el rédito) también los intereses.
La cantidad C que debe abonarse cada año para amortizar la deuda de un capital inicial C0, solicitado a una entidad financiera a un rédito r y durante un plazo de t años (con un periodo anual), recibe el nombre de anualidad de amortización. A partir de la fórmula del interés compuesto, el valor de la anualidad de amortización se calcula como:
El tipo de interés TAE
En numerosos productos financieros españoles, se hace referencia a un tipo TAE (siglas de Tasa Anual Equivalente). Se trata de un tipo de interés anual efectivo que se calcula con arreglo a la siguiente fórmula:
TAE=[(1 + rn)n - 1] × 100,
siendo rn el tanto por uno referido al número de veces que el periodo de liquidación se contiene en el año.
Clases de amortización
En la práctica, la amortización de un crédito puede efectuarse según diversos sistemas. El más sencillo es el francés,por el que se efectúan pagos de anualidades de amortización que se destinan en parte a pagar los intereses y en parte a abonar el crédito. En el «sistema americano», primero se pagan todos los intereses y sólo al final se devuelve el crédito, para lo cual se establece un fondo de amortización. Finalmente, el llamado «sistema alemán » se basa en el pago anticipado de los intereses, y la anualidad se compone de una cuota de amortización y una cuota de interés referida al capital pendiente de amortización del año siguiente.
