Resolución de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones lineales escalonados
Uno de los procedimientos conceptualmente más sencillos para resolver sistemas cuadrados (con igual número de incógnitas y ecuaciones) de más de dos ecuaciones se basa en la llamada forma escalonada. Esta técnica consiste en transformar sucesivamente, según cualquiera de los métodos algebraicos comunes (sustitución, igualación o reducción), el sistema de ecuaciones en otro equivalente que tenga forma escalona.
Método de Gauss
En la resolución de sistemas cuadrados con tres incógnitas se utiliza un procedimiento escalonado, conocido por método de Gauss, que consiste en una generalización del método de reducción (ver t6). Este método, aplicable también a otras resoluciones, debe su nombre a su descubridor, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Según el método de Gauss, el sistema original se va transformando en otros, hasta obtener un sistema equivalente final con:
- Una primera ecuación con tres incógnitas x, y, z.
- Una segunda ecuación con dos incógnitas y, z.
- Una tercera ecuación con una incógnita z.
Se resuelve la tercera ecuación para obtener z, se sustituye en la segunda y se obtiene y, y se reemplazan y, z en la primera para resolver completamente el sistema.
Ejemplo de resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss.
Sistemas lineales homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo cuando los términos independientes de todas sus ecuaciones son nulos.
Para tres ecuaciones, la expresión general de un sistema lineal homogéneo es siguiente:
Todos estos sistemas son compatibles, ya que tienen una solución trivial para x1 = x2 = x3 = 0. No obstante, las raíces realmente interesantes del sistema, si existen, son las llamadas soluciones propias, de manera que si x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3 fueran soluciones propias, también lo serían x1 = ls1, x2 = ls2, x3 = ls3," Î R, siendo l ¹ 0.
Las soluciones propias de los sistemas lineales homogéneos se pueden obtener por aplicación del método de Gauss o mediante operaciones con matrices representativas del sistema (ver t18).Sistemas dependientes de un parámetro
Cuando alguno de los coeficientes o términos independientes de una ecuación dentro de un sistema de ecuaciones lineales es un parámetro, el sistema se denomina dependiente de un parámetro.
Los sistemas cuadrados de tres ecuaciones dependientes de un parámetro se pueden resolver mediante la aplicación del método de Gauss, como se ilustra en el ejemplo. Según los valores adoptados por el parámetro, el sistema puede ser compatible determinado o indeterminado, o también incompatible (discusión del sistema).
Ejemplo de resolución de un sistema cuadrado de tres ecuaciones dependiente de un parámetro por el método de Gauss.
Sistema escalonado
Un sistema escalonado es un sistema en el que todos los coeficientes que hay por debajo de la diagonal principal del sistema es 0.
Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas de la llamada forma escalonada:
Resolución gráfica
Una ecuación lineal con tres incógnitas, expresada como
ax + by + cz = d, corresponde a un plano en el espacio. Por tanto, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede analizarse geométricamente como un conjunto de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema, si las hubiere, corresponderían a todos los puntos del espacio que son comunes a estos tres planos.
Los algebristas italianos
El Renacimiento artístico europeo nació y floreció en Italia. Durante esta época de esplendor cultural se vivió también en el territorio italiano un extraordinario auge de las matemáticas y, en particular, de los desarrollos algebraicos relacionados con la resolución de ecuaciones. Algunos de los representantes más destacados de la «escuela» de algebristas italianos fueron Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano, Lodovico Ferrari y Rafael Bombelli.
Carl Friedrich Gauss
El alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los matemáticos más influyentes de la historia. Trabajó, sobre todo, en la aplicación de las matemáticas a múltiples campos de la física, y es autor de contribuciones muy numerosas en el ámbito teórico y práctico: el método de los mínimos cuadrados, la resolución de ecuaciones múltiples por el método escalonado que lleva su nombre, el enunciado del teorema fundamental de la aritmética, etcétera.
