Combinatoria
Agrupaciones en combinatoria
Dado un conjunto de m elementos, existen tres formas posibles de agruparlos y seleccionarlos:
- Considerando distinto cada grupo en el que exista alguna diferencia de número (contenido) o de orden. Las agrupaciones de esta clase se llaman variaciones.
- Teniendo en cuenta sólo grupos en los que intervengan siempre los m elementos, aunque en distinto orden de colocación (permutaciones).
- Interpretando como grupos distintos sólo a aquellos que tengan algún elemento diferente, sea cual sea su orden (combinaciones).
Cuando en cada uno de los grupos formados los elementos aparecen una sola vez, las agrupaciones se denominan ordinarias o sin repetición; en cambio, si en cada grupo puede aparecer un elemento varias veces, se habla de agrupaciones con repetición, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.
Variaciones
Se llaman variaciones ordinarias (o variaciones sin repetición) de los n elementos de un conjunto tomados en grupos de r (siendo r £ n) todas las agrupaciones que se pueden formar de r elementos que se diferencien por el contenido de los elementos o por su orden de colocación.
La fórmula para determinar el número de variaciones ordinarias distintas susceptibles de formarse en un grupo de n elementos tomados de r en r es la siguiente:
Diagrama en árbol que muestra las variaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.
Permutaciones
El caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r se denomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de colocación de los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjunto.
Diagrama en árbol que muestra las permutaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C).
El número de permutaciones ordinarias formadas con n elementos viene dado por:
Pn = n (n - 1) (n - 2) ... 1 = n!
Combinaciones
Las agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al seleccionar de un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si, y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su orden de colocación en el grupo.
El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n elementos tomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:
La expresión 
se lee «n sobre r» y se denomina número combinatorio.
El número de combinaciones de n elementos en grupos de r es igual al de variaciones de n en grupos de r dividido por el número de permutaciones de los r elementos de cada grupo. Es decir:
Diagrama en árbol que muestra las combinaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.
Factorial de un
Se denomina factorial de un número entero y positivo n, y se simboliza por n!, al producto de n factores consecutivos que empiezan por la unidad y terminan por el número n, ambos incluidos. Es decir:
n! = n × (n - 1) x (n - 2) × …× 1
Como caso particular, se define que 0! = 1.
Variaciones con repetición
Cuando en las variaciones de n elementos tomados de r en r se admite que en cada grupo formado se repitan elementos, se habla de variaciones con repetición. Por ejemplo, en el conjunto {A, B, C}, serían admisibles las variaciones con repetición AAA, AAB, BAA, AAC, ABB, etcétera. El número de variaciones con repetición que pueden formarse en un conjunto de n elementos tomados en grupos de r es:
VRn,r = nr.
Permutaciones con repetición
Dado un conjunto de n elementos, el número de permutaciones (agrupaciones que difieren en el orden) con repetición que pueden formarse con ellos de manera que el primer elemento se repita k1 veces, el segundo k2 veces, el tercero k3 veces, ..., y el n-simo kn veces, viene dado por:
Combinaciones con repetición
Cuando se admiten repeticiones de elementos en la formación de combinaciones, se habla de combinaciones con repetición, y entonces la fórmula se convierte en:
