MATEMÁTICAS

Números combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro de la especialidad del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Coeficientes binómicos

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n ³ r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Los números combinatorios se leen «n sobre r».

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

  • Primera propiedad de los números combinatorios:

  • Segunda propiedad de los números combinatorios.

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

  • Cualquier número sobre 0 es igual a 1.
  • Todo número sobre sí mismo es igual a 1.
  • Un número sobre 1 es siempre igual al número.

Triángulo de Tartaglia

En el siglo XVI, el italiano Niccolò Tartaglia propuso un triángulo regular de números tales que:

  • Todas las filas del triángulo comienzan y terminan por la unidad, y son simétricas con respecto al valor central.
  • Cada número del triángulo es igual a la suma de los dos situados encima de él (salvo los extremos).
  • La suma de todos los elementos de cada fila coincide con el valor 2n, siendo n el orden de la fila.

Esta disposición es de tipo combinatorio y se conoce como triángulo de Tartaglia o de Pascal.

Este triángulo adquiere particular significación si se expresa en forma de números combinatorios, y ayuda a comprender las propiedades de los mismos.

Binomio de Newton

El uso de números combinatorios simplifica enormemente la expresión del llamado binomio de Newton, que desarrolla el valor de la potencia n-sima de un binomio:

Particularizando este binomio para el caso a = b = 1, se obtiene una explicación del hecho de que la suma de cada fila del triángulo de Tartaglia sea igual a 2n, ya que resulta:

I Ching

El libro chino del I Ching, utilizado para fines adivinatorios y que data del siglo XII a. C., propone algunos problemas combinatorios, centrados en torno a los llamados cuadrados mágicos, aquellos en los que las filas, las columnas y las diagonales suman todas un mismo número.

Diagrama en árbol de las combinaciones que pueden obtenerse con un conjunto de cinco elementos tomados en grupos de 1, de 2, de 3 y de 4.

Dos ejemplos de cuadrados latinos ortogonales, problemas combinatorios en los que han de disponerse los números de un conjunto en las casillas de una tabla de manera que ningún número se repita en las filas y las columnas.

 

Tartaglia

Niccolò Fontana (h. 1499- 1557), matemático italiano apodado Tartaglia por su tartamudez, fue autor de importantes trabajos sobre aritmética y tratados de los números. Una de sus abstracciones más conocidas es el triángulo de números regulares, que lleva su nombre.