MATEMÁTICAS

Los porcentajes

El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de datos expresados en porcentajes. Por ejemplo, ¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en todos los artículos del hogar" o "El paro aumentó el último trimestre un 0,5%". Un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.

Porcentaje o tanto por ciento

Cuando una familia invierte el 45% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está gastando en ella 45 euros de cada 100 que ha ahorrado.

Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100. En este caso, el 45% es la fracción decimal.

Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar también en número decimal. Así, 45% = = 0,45 (se ha dividido 45 entre 100).

Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:

Porcentaje Se lee Fracción Decimal Significado
10% Diez por ciento 10/100 0,1 10 de cada 100
30% Treinta por ciento 30/100 0,3 30 de cada 100
3% Tres por ciento 3/100 0,03 3 de cada 100

Cálculo de porcentajes

Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento

  1. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.

    Ejemplo:

    El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte?

    Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:

    Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.

  2. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.

    Ejemplo:

    Observa esta igualdad:

    Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:

    240 · 0,2 = 48

Variaciones: incrementos y descuentos

Incrementos

Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.

Ejemplo:

Si una camiseta, sin el 16% de IVA, cuesta 12,00 ¬, para saber cuánto cuesta con IVA hay que:

  1. Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (16% de 12,00): 12 · 0,16 = 1,92 (0,16 es la expresión decimal del porcentaje 16%).
  2. Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (1,92) para obtener el precio final: 12,00 + 1,92 = 13,92 ¬

El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IVA y, por tanto, es necesario disponer de un total de 13,92 euros para comprarla.

Descuentos

Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.

Ejemplo:

Vamos a calcular el precio de un libro que antes costaba 42,00 ¬ y ahora tiene el 5% de descuento:

  1. Calculamos el descuento que sufre el precio del libro. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (5% de 42,00): 42,00 · 0,05 = 2,10 (0,05 es la expresión decimal del porcentaje 5%).
  2. Restamos la cantidad (42,00) menos su descuento (2,10) para obtener el precio final: 42,00 - 2,10 = 39,90 ¬ El precio del libro tiene un recuento y, por tanto, habría que disponer de 39,90 euros para comprarlo.

Tanto por 1 y tanto por 1.000

Puesto que un tanto por ciento es una proporción de un número de partes por cada 100, el tanto por uno y el tanto por mil son proporciones de un número de partes por cada 1 o por cada 1.000 respectivamente. El tanto por ciento, por uno o por mil son sólo diferentes maneras de expresar un porcentaje.

Es lo mismo decir que se divide una tarta en 100 partes y se cogen 25 que decir que se cogen 0,25 de una tarta, o que se divide en 1.000 partes y se cogen 250. Por tanto, el 0,25, el 25 % o el 250 por mil son expresiones equivalentes y significan lo mismo.

En realidad, no es más que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por 10 ó 100, según cada caso.

Aplicaciones de los porcentajes

Los porcentajes se usan para:

  • Relacionar una parte con el todo: Ejemplo: "El 58% de los aspirantes a ingresar en la Universidad son mujeres".
  • Determinar una proporción entre dos cantidades: Ejemplo: "La proporción de levadura y harina para el bizcocho es del 3%".
  • Describir a la población, indicando el peso relativo de una magnitud sobre ella. Ejemplo: "El 16% de la población de Euskadi tiene estudios superiores". Gran parte de la estadística se expresa en porcentajes. En Euskadi, el Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT), elabora numerosos estudios estadísticos sobre la población vasca.
  • Determinar la variación relativa de una cantidad: Ejemplo: "El nivel del agua almacenada en los embalses ha subido un 8% en lo que va de año".

El interés bancario

Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorros, etc.) dan a sus clientes un interés por tener depositado su dinero. Es directamente proporcional a la cantidad guardada y al tiempo que dura el depósito, y se mide en tanto por ciento.

Cuando se pide un préstamo al banco también se paga un interés.

Ejemplo:

La caja de ahorros local ofrece a Marta un 4% anual para los 6.000 ¬ que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Marta por su capital a final de año?

Un interés del 4% anual significa que de cada 100 ¬ obtiene 4 al año.

Por tanto,

Pero ¿y si Marta guarda el dinero en la caja durante 4 años?

En cuatro años le producirá cuatro veces esa cantidad:

Cálculo del interés bancario

Donde:

  • I es el interés bancario.
  • c es el capital.
  • r es el rédito.
  • t es el tiempo.