MATEMATIKA

Bigarren mailako ekuazio sistemak eta hainbat ezezaguneko inekuazioak

Bigarren mailako ekuazioak agertzen diren sistemen azterketak ekuazio linealetan ebazteko erabiltzen diren teknika berak erabiltzen ditu. Prozedura orokor hauek inekuazio sistemen ebazpenetan ere erabil daitezke.

Ekuazio koadratikoen sistemak

Bigarren mailako ekuazio sistema edo ekuazio koadratikoak deitzen zaio 2 ataletako ekuazio bat bederen agertzen denean. Bigarren mailako ekuazio sistemak ez-linealak dira, eta hauek ebazteko lehen mailakoen edo linealen (16. gaia ikusi). prozedura berak erabiltzen dira. Demagun sistema bi ekuazioz osatuta dagoela:

  • Berdinketaren bitartez, ezezagun bera askatzen da bi ekuazioetan eta ebazpenak berdindu egiten dira. Lortzen den ekuazioan ( bigarren mailakoa, bikarratua edo irrazioanala izan daiteke) bigarren ezezagunaren ebazpenak lortzen dira eta hasierako sistemako edozein ekuaziotan ordezkatzen da beste ezezagunaren ebazpenak lortzeko.
  • Ordezkapenaren bitartez, ekuazio batean ezezagun bat askatu egiten da eta beste ekuazioan ordezkatzen da. Ekuazio hori (koadratikoa, bikarratua edo irrazionala) ebatzi egiten da eta balioak kalkulatzen dira.
  • Laburketaren bitartez, ekuazioak koefizienteekin edo aldagaiekin biderkatzen dira lortzen diren ekuazio baliokideen batzeak (edo kentzeak) ezezagunetako bat ezabatu arte. Ondoren, ekuazioa (koadratikoa, bikarratua edo irrazionala) ebazten da eta erroak kalkulatzen dira.

Maiz gertatzen da ebazpenaren pausuren batean bira jaso behar izatea ezezagunetako bat , eta horrela ebazpen «faltsuak» lortuko dira. Horregatik ezinbestekoa da ebazpenak frogatzea sistemako jatorrizko ekuazioetan. Berdinketa betetzen ez badute, baten bat beti baztertu behar izango dugu.

Metodo grafikoen bitartezko ebazpenak

Bigarren mailako ekuazio sistemak metodo grafikoen bitartez ere ebatzi daitezke. Horretarako honako hau izan behar da kontuan:

  • Lehen mailako ekuazioak (linealak) zuzenen bitartez adierazten dira.
  • Bigarren mailako ekuazioak (koadratikoak) bihurgune konikoen bitartez adierazten dira; zirkunferentziak, elipseak, parabolak edo hiperbolak izan daitezke.

Ekuazioak planoan grafikoki adieraztean hainbat kasu ager daitezke:

  • Sistemaren bi konikek edo konika batek eta zuzen batek puntu batean edo bitan elkar ebakitzen badute, sistema bateragarri determinatua da.
  • Aldi bereko bi konika lortzen direnean, sistema bateragarri indeterminatua da.
  • Bi konikek edo konikak eta zuzenak ez badute planoaren puntu bakar batean ere elkar ebakitzen, sistema bateraezina da (ez dauka ebazpenik).

Hainbat ezezagunetako inekuazio linealak

Hainbat ezezagunetako inekuazio lineal batek honako formula honi erantzuten dio:

ax + by + cz + ... + d < 0 (inekuazio garbi-garbia), edotaax + by + cz + ... + d £ 0 (inekuazioa zentzu zabalean).

Inekuazioaren ebazpena lortzeko ezezagunetako bat bakantzen da. Adibidez, bi ezezaguneko inekuazio lineal batean ax + by + c < 0 motakoa, bakanduz honako hau lortuko dugu: y < (-ax - c)/b.

Ebazpen honek grafikoki adierazpen oso garrantzitsua du kontuan hartzen bada y = (-ax - c)/b berdinketa plano batean zuzen bat dela. Beraz, txikiagoa (<) ikurrarentzako desberdintzak bere baitan hartzen ditu aipatutako zuzen horren pean dauden planoko puntu guztiak. Horrela bada, inekuazio lineal baten ebazpena plano-erdia da.

  • Inekuazio garbi-garbia bada, ez du bere baitan hartzen plano-erdia mugatzen duen zuzena.
  • Zentzu zabaleko desberdintza bada, zuzenaren puntuak inekuazioaren ebazpenak ere badira.

Sistema lineal eta ez linealak.

Inekuazio lineal batez eta lineala den ekuazio batez osatutako sistema bat hartzen badugu, ebazpena zera da: inekuazioaren ebazpenaren plano-erdian dagoen ekuazio lineala adierazten duen zuzenerdiaren puntuen multzoa

Sistema bi inekuazio linealez osatuta dagoenean, ebazpena inekuazio bakoitzaren emaitzari dagokien plano-erdiak dituen plano zatiari dagokion atala da.

Inekuazio batez eta ekuazio lineal batez osatutako sistema baten ebazpen grafikoa.

Bi inekuazio linealez osatutako sistema baten ebazpen grafikoa.

Ekuazio koadratikoen sistemen ebazpenen metodo grafikoa.

 

Bigarren mailako ekuazioen sistemen ebazpen grafikoa

Sistema bateragarri mugatua.

Sistema bateragarri indeterminatua.

Sistema bateraezina.

 

Sistema lineal eta ez linealak.

Lehen mailako ekuazioen sistemak linealak direla esaten da ekuazioetako bakoitza kontuan hartzen diren (dimentsioak) ezezagunen arabera planoan edo espazioan zuzenen bitartez adieraz daitekeelako. Bigarren mailako ekuazioak, ordea, grafikoki elipseak, parabolak eta hiperbolak dira. Hauek ekuazio koadratikoen bidez adierazitako forma konikoak dira. Beraz, bat baino goragoko maila duen edozein ekuazio azaltzen den sistema ez-lineal izango da.