Banaketa binomiala
Banaketa binomialerako baldintzak
Banaketa bat binomiala dela esaten da, ondorengo baldintzak betetzen direnean:
- Oinarrizko ausazko esperimentua n aldiz errepikatzen da, eta lorturiko emaitza guztiak bere artean independenteak dira.
- Froga bakoitzean, p-k espresaturiko arrakasta-aukera (A gertakaria) bera lortzen da. Era berean, froga bakoitzean, huts egite (
gertakaria) aukera bera existitzen da, zein q = 1 - p den. - Banaketa binomialaren helburua, arrakasta kopuru bat gertatzearen aukera ezagutzea da. X ausazko aldagarria, zeinek A gertakaria (arrakasta) zenbat aldiz agertzen den adierazten duen, diskretua da, eta bere ibilbidea {0, 1, 2, 3, ..., n} taldea da.
Banaketa binomiala B (n, p) bezala espresatzen da, esperimentua errepikatzen den aldien kopurua n izanez eta p arrakastaz gertatzeko aukera izanez.
Ausazko esperimentuaren adibidea, banaketa binomialaren bitartez deskribatua: dado bat lau aldiz botatzean, zenbat aldiz aterako da 6 zenbakia? Gertakari hau esperimentuaren «arrakasta» da.
Probabilitate funtzioa
Banaketa binomiala, bere probabilitate funtzioa ondorengo espresioan agertzen delako bereizten da:
non r, ausazko esperimentuari loturiko arrakasta kopurua den.
B (n, p) banaketa binomial batean, zera egiaztatzen da:- n errepikapenetan gutxienez arrakasta bat agertzeko aukera, ondorengoa da:
- n errepikapenetan gehienez arrakasta bat gertatzeko aukera, ondorengoa da:
Itxaropena, bariantza eta desbiderapen tipikoa
B (n, p)-k adierazitako banaketa binomialean, non n esperimentuaren errepikapen zenbakia den eta p gertakari zehatz bat (arrakasta) gertatzeko aukera, X ausazko aldagaiaren itxaropen matematikoa ondorengo espresioaren bitartez ematen da:
Analogikoki, X ausazko aldagaiaren bariantza, hau era diskretukoa izatean, horrela kalkulatzen da:
q arrakasta ezaren (porrota) aukera izanik. Desbideratze tipikoa, ohizkoa den eran, bariantzaren erro karratua da.
Banaketa binomialaren doitzea
Batzutan, B (n, p) motako banaketa binomialaren aukeraren kalkulua oso konplikatua gertatzen da. Abraham de Moivre (1667-1754) frantziar matematikariak erakutsi zuenez, N (np, 
), motako B (n, p) banaketa binomialaren aukera, banaketa normalaren (56. gaia ikusi) bitartez hurbil daiteke, zein bereziki egokia gertatzen den, ondorengoa gertatzen denean:
- n-ren balorea oso handia da.
- np eta nq, 5 bezain ³ dira. (n zenbat eta handiagoa izan eta p 0,5eri zenbat eta gehiago hurbildu, orduan eta hobeagoa gertatzen da eginiko hurbiltzea).
Banaketa binomiala (aldagai diskretuzkoa) normalera (etengabeko aldagaizkoa) eraldatzeko, beharrezkoa da ondorengo eraldaketara jotzea:
Arrakastaren mugak
Orokorrean, banaketa binomialak bideratutako ausazko esperimentuan arrakasta kopurua i zenbakia baino txikiagoa ala handiagoa den zehazteko, ondorengo espresioetara jotzen da:
Abraham de Moivre
Abraham de Moivre (1667-1754), frantziar matematikaria, hugonoteen (hau da, bere taldea) errepresio-garai aztoratua bizi zuen. Londresen atzerriratua, Isaac Newton eta Edmond Halley-ren adiskidetasuna landu zuen eta probabilitatearen teoriako eremuan eta trigonometria analitikoan garapen handien autorea izan zen.
