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El modelo atómico de Bohr-Sommerfeld

El modelo atómico de Bohr-Sommerfeld

El modelo atómico ideado por Ernest Rutherford a principios del siglo XX describía el átomo de hidrógeno como un sistema compuesto por un núcleo masivo de carga eléctrica positiva y dimensiones mínimas en torno al cual se movía un electrón negativo. Cuando este modelo se mostró insuficiente, Niels Bohr introdujo una serie de postulados cuánticos que establecieron un nuevo marco conceptual para el desarrollo de la teoría atómica.

El átomo de hidrógeno

Si se considera el átomo de hidrógeno como un conjunto de núcleo y electrón sometido a las leyes de la dinámica de las fuerzas centrales, la energía total y el momento angular del electrón deberían regirse por las siguientes expresiones:

donde r es el radio de la órbita del electrón, m su masa y Z el número atómico del hidrógeno (expresado en forma simbólica, aunque su valor es 1).

Estas expresiones explican el comportamiento mecánico del sistema, pero no sus propiedades electromagnéticas. Según el electromagnetismo clásico, si un electrón emitiera radiaciones caería irremisiblemente bajo el influjo del núcleo atómico.

Modelo de Bohr-Sommerfeld

Para comprender el comportamiento del átomo de hidrógeno, el danés Niels Bohr (1885-1962) incorporó al modelo anterior consideraciones propias de la teoría cuántica. Bohr supuso que el electrón sólo puede describir ciertas órbitas circulares alrededor del núcleo, que llamó estacionarias y a las que identificó con números enteros.

Cuando un electrón emite radiación, pasa de una órbita estacionaria n a otra n¿, y la diferencia entre sus energías se corresponden con la energía del fotón emitido:

Como el número de órbitas posibles del electrón es discreto, también lo es el conjunto de frecuencias electromagnéticas que puede emitir. Si un electrón absorbe un fotón, adquiere energía y pasa a una órbita más alejada del núcleo, y si lo emite, pierde energía y cae a una órbita más cercana al núcleo.

También propuso que las órbitas permitidas serían aquellas cuyo momento angular L fuera un múltiplo de la constante , es decir: L = n , siendo n = 1, 2, 3... De este modo, los radios de las órbitas estacionarias de Bohr y los niveles de energía asociados serían:

El físico alemán Arnold Sommerfeld (1868-1951) completó este modelo atómico de Bohr considerando que las órbitas descritas no eran circulares, sino elípticas, y desarrolló las correcciones correspondientes.

Unidades atómicas de Bohr

Las expresiones del modelo atómico de Bohr-Sommerfeld son bastante prolijas, máxime si se tiene en cuenta que en ellas aparecen bastantes constantes relacionadas. Para simplificar la formulación del modelo, se definieron algunas constantes agrupadas nuevas. Así, para n = 1, el valor del radio de la primera órbita de Bohr se obtiene como sigue:

Este valor se conoce por radio de Bohr, y permite escribir la ecuación de los radios de las órbitas de Bohr del modo siguiente:

Esquema de emisión (a) y absorción (b) de un fotón por un átomo según el segundo postulado de Bohr.

Niveles de energía de los átomos

Si se calcula el valor absoluto de la energía del primer nivel de Bohr, que se conoce como energía de Rydberg, se deduce que:

Esta energía, llamada potencial de ionización, es la que se necesita para extraer el electrón del primer nivel (estado fundamental) del átomo de hidrógeno. En tal caso, los niveles de energía del átomo de hidrógeno pueden expresarse como:

Estas expresiones de Bohr para el átomo de hidrógeno no pueden generalizarse para átomos mayores, donde las ecuaciones resultan mucho más complejas. No obstante, los principios generales sí son extensibles a otros átomos.

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