FISIKA

Eremu bektorial baten fluxua. Gauss-en legea

Zientziako zenbait arlotan matematika aplikatzean, diseinu eta kalkulu zientifikorako tresnak izugarri bultzatu ziren, baita eredu teorikoen elaborazioko metodoak ere. Fisika arloan, Alemaniako Carl Friedrich Gaussek parte handia izan zuen sistematizazio matematikoko prozesu horretan, naturako fenomeno fisikoak azaltzeko eremuaren nozioa eta propietateak garatuz.

Bektore baten fluxua

Kalkulu bektorialean, gainazal bat zeharkatzen duen bektore baten fluxua emandako bektorearen eta gainazalaren bektore ordezkakorraren arteko biderkadura eskalarrak determinatutako magnitudea bezala definitzen da.

Paralelogramo baten arearen bektore ordezkakorra.

Gainazaleko bektore hori, , bezala hartuta, oro har, gainazalaren perpendikularra da, zati ganbilara abiaturik, eta horren modulua eta gainazalaren area berdinak dira.

AB eta AD aldetako paralelogramo baten eredu erraz batean, honako biderkadura bektorial honek emango luke gainazaleko bektorea :

Eremu grabitatorioko fluxua

Bektore baten fluxuaren nozioa eremu bektorialen intentsitateei aplikatzen zaie, oro har. Horrela, intentsitateko eremu grabitatorio guztietan eremuko fluxu bat defini daiteke, hartutako objektuaren gainazal osoan zabaldurik, honako balore hau izango lukeena:

non aintzat hartutako eremu grabitatorioak zeharkatutako arearen elementu infinitesimal bakoitzaren gainazaleko bektorea den.

Eremua konstantea denean eta integral zabaltzen den gainazala eremuko zatia denean, eremu grabitatorioaren fluxua honako adierazpide hau bihurtu egiten du:

non q gainazalak eta eremuak osatzen duten angelua den.

Gainazaleko bektore arrunta, zenbait gainazal itxitan.

Gaussen legea

Hasiera batean, gainazal itxi arbitrario bat zeharkatzen duen eremu baten fluxua kalkulatzea konplexua da. Hala eta guztiz ere, Carl Friedrich Gauss alemaniarraren lanek konponbide erraza eman zioten arazoari.

Eremu grabitatorioaren (edo elektrostatikoaren) kasuan, eta eremuaren masa (edo karga) puntual sortzaile bat emanda, partikula inguratzen duten gainazal esferikoak zeharkatzen dituen eremuaren fluxu osoa honako adierazpen honek ematen du:

Horrela, Gaus-en legearen arabera, gainazal itxi batean zeharreko eremu grabitatorioaren fluxua eta gainazalak itxitako bolumenean dagoen eremuak sortutako masa proportzionalak dira. Era berean, gainazal itxian zeharreko eremu elektrostatikoaren fluxua eremua sortzen duen karga elektrikoaren zuzenki proportzionala da.

Paralelogramo bat zeharkatzen duen eremu konstante baten fluxua.

Simetria esferikoa duen masaren banaketa

Gaussen legea oso erabilgarria da eremu baten fluxua simetriako edo erregulartasuneko patroi masako (eremu grabitatorioa) edo kargako (eremu elektrostatikoa) banaketetan kalkulatu behar denean.

Ikasteko kasu erraz bat ondoko hau da: eremuak sortzen duen masako edo kargako banaketak simetria esferikoa duen hori. Orduan, sortutako eremuak ere simetria mota hori eduki behar du.

Bi dimentsiotan (a) eta hiru dimentsiotan (b) simetria esferikoa duen eremu ez erradialeko adierazpidea.

Eremu grabitatorioan, fluxuaren definizioa hartuta, honako hau lortzen da:

Eremu elektrostatikorako, a adierazpide antzekoa lortzen da.

Eremu fisikoen fluxuen arteko analogiak

Eremu bektorial baten fluxuaren nozioa fisikaren arlo askoei aplikatzen zaie. Eremu grabitatorioaren fluxuaz gain, eremu elektrostatikoaren eta, batez ere, magnetikoaren fluxuak era aipatu behar dira, horien guztien formulazio matematikoa formalki baliokidea izan dadin.

 

Carl Friedrich Gauss

Alemaniako Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematikaren historiako pertsonarik eraginkorrenetako bat da. Berak sortutako ikerketa metodoak aplikatu zizkien astronomiako, fisikako eta geodesiako zenbait arlotan.