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Derivabilidad y continuidad

Derivabilidad y continuidad

Las nociones de derivabilidad (posibilidad de obtener la derivada) y continuidad (existencia de límite y concordancia del mismo con el valor de la función) en un punto o un intervalo guardan una estrecha relación. En términos generales, el concepto de derivabilidad es más selectivo, por cuanto toda función derivable es obligatoriamente continua, aunque no siempre pueda afirmarse lo contrario.

Derivabilidad

La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las mismas causas que un límite (ver t39). Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables:

  • Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un salto o una discontinuidad.
  • Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.

Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad, ni en n porque no coinciden las derivadas laterales.

Funciones continuas y derivables

Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están estrechamente relacionadas. Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:

  • Una función f (x) derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
  • Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).

Ejemplo de función no derivable en x = 1 por la presencia de un punto anguloso.

Así pues, la noción de derivabilidad es más restringida que la de continuidad, ya que todas las funciones derivables son continuas, pero no a la inversa.

La función derivada

Dada una función f (x) continua y derivable en un dominio de definición dado, es posible definir una nueva función, llamada derivada y denotada por f ¿ (x), tal que a cada valor de x perteneciente al dominio de la función le asocia la derivada de f (x) en dicho punto.

Esta definición puede aplicarse a derivadas sucesivas. La derivada de una función es una nueva función definida para un dominio dado, de manera que si es continua y derivable en dicho dominio, es posible determinar una nueva función derivada de la misma, que será a su vez la función derivada segunda de f (x).

Las funciones derivadas sucesivas de una función f (x) se denotan del modo siguiente:

  • Derivada primera: f ¿ (x).
  • Derivada segunda: f ¿ (x).
  • Derivada tercera: f ¿¿ (x).
  • Derivada cuarta: f IV (x), etcétera.

Rectas tangente y normal

El empleo de derivadas de una función ofrece un medio sencillo para determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva representativa de una función en un punto dado.

Dada una función f (x) continua y derivable en un punto x = a, la ecuación de la recta tangente a dicha función en el punto a obedece a la siguiente ecuación:

Análogamente, la recta normal a la función en el punto sigue la ecuación:

Rectas tangente y normal a una función en un punto.

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