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Distribución probabilística

Cuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de la probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a estos experimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y regirse por principios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las características del fenómeno físico o social ligado al experimento.

Variables aleatorias

En un experimento aleatorio cabe definir una aplicación que asigne a cada suceso estocástico del espacio muestral un cierto número. Esta aplicación recibe el nombre de variable aleatoria, y el conjunto de valores que puede asumir una variable aleatoria es su recorrido. Según el número de elementos del recorrido, se distinguen dos tipos de variables aleatorias:

  • Variable aleatoria continua, de recorrido infinito, donde el número al que se hace corresponder la aplicación pertenece al conjunto de los números reales R.
  • Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito.

En general, una variable aleatoria discreta se define como una aplicación f (xi) tal que:

Esta expresión se conoce comúnmente por los nombres de distribución de probabilidad, función de probabilidad o función de cuantía.

Ejemplo de variable aleatoria discreta: al lanzar dos dados, la suma de los puntos de ambos puede tomar un conjunto finito de valores.

Función de distribución

Dada una variable aleatoria X, se llama función de distribución a aquella que proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que xi. Es decir:

Si se conoce la función de distribución F (x) de una variable aleatoria X, ya sea ésta discreta o continua, siempre se cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el intervalo (a, b] es:

Esperanza matemática

En un experimento aleatorio, la esperanza matemática se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoria considerada por su probabilidad.

Cuando la variable aleatoria X es discreta, el valor de la esperanza matemática asociada viene dado por:

Si se trata de una variable aleatoria continua, el número de valores de la variable es infinito, por lo que el sumatorio se convierte en una integral.

Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.

Varianza y desviación típica

La esperanza media constituye un valor de tendencia central, una media del valor de la variable estadística. Para saber si los valores de una variable estadística siguen una distribución centrada o dispersa, es preciso completar el valor de la esperanza media con el de la varianza.

En variables aleatorias discretas, la varianza se define como:

En las variables aleatorias continuas, existe un número infinito de valores, por lo que el sumatorio de la fórmula anterior se convierte en integral:

Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.

La raíz cuadrada de la varianza recibe el nombre de desviación típica:

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