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Función de proporcionalidad inversa

Función de proporcionalidad inversa

En el mundo real se producen con frecuencia situaciones en las que se relacionan dos variables de manera que su producto siempre permanece constante. Así sucede, por ejemplo, cuando se pretende determinar el caudal de un grifo necesario para llenar un depósito en un cierto tiempo: al aumentar el caudal, se reduce el tiempo, y a la inversa. Estas relaciones se conocen genéricamente con el nombre de funciones de proporcionalidad inversa.

Relación de proporcionalidad inversa

Se denomina relación de proporcionalidad inversa a la que se establece entre una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma que el producto de ambas es siempre igual a una constante k. Es decir: x × y = k.

Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real, llamada función de proporcionalidad inversa, que se escribiría genéricamente del modo siguiente:

Esta función estaría definida en todo el conjunto de los números reales excepto el punto para el cual se anula el denominador (esto es, para x = 0).

Representación gráfica

Si se analiza la expresión de la función de proporcionalidad inversa, suponiendo que la constante k > 0, se advierte que:

  • La función no está definida para x = 0.
  • Para valores de x > 0, la función es positiva, de manera que tiende a infinito para valores muy pequeños de x y se aproxima a cero conforme aumenta la variable independiente.
  • Análogamente, cuando x < 0, la función toma valores negativos de manera que tiende a menos infinito cuando x tiende a cero y se aproxima a cero cuando x tiende a menos infinito.

De todo ello se deduce que la función de proporcionalidad inversa, para k > 0, se representa a modo de una gráfica de dos ramas simétricas con respecto al origen y con respecto a la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrantes del plano.

Representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa para k > 0.

Interpretación geométrica

La expresión de la función de proporcionalidad inversa se corresponde con la de una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

Aplicaciones de la función de proporcionalidad inversa

La función de proporcionalidad inversa aparece en numerosos fenómenos físicos y sociales. Algunos casos comunes ilustrativos de la aplicación de esta función serían:

  • La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura k constante, que sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P × V = k. En este caso, el dominio de definición se restringe a la rama positiva de la función de proporcionalidad inversa, ya que no existen volúmenes ni presiones negativos.
  • La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.
  • La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, como consecuencia de la ley de Ohm: V = I × R. La intensidad y la resistencia se hallan en relación de proporcionalidad inversa.
  • La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.

En todas estas situaciones apuntadas, las variables en juego siguen una relación definida gráficamente por medio de una hipérbola equilátera.

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