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Números racionales

Números racionales

El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Números fraccionarios

Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b Î Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:

  • Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador.Por ejemplo: etcétera.
  • Fracciones impropias, en caso contrario.Por ejemplo,etcétera.

Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y, que corresponde al número mixto 1.

Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: , siendo c el cociente y r el resto de la división.

El conjunto de los números racionales

El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de modo que a cada par (z1, z2) le hace corresponder un número racional z definido como z = z1/z2. Por ejemplo, los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número racional 1/3.

Representación de los números racionales

El conjunto Q de los números racionales se representa, al igual que el de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir, el conjunto de los números racionales está ordenado.

Representación gráfica del conjunto Q.

Operaciones con números racionales

En el conjunto de los números racionales se definen dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números racionales a = (a1, a2) y b = (b1, b2), la suma se define como:

El producto de dos números racionales se obtiene como:

Expresión decimal de una fracción

Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la división correspondiente entre el numerador y el denominador. Entonces, se distingue entre:

  • Expresiones decimales exactas, que corresponden a las fracciones decimales aquellas que su denominador es una potencia de 10) y a las fracciones que son equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo
  • Expresiones decimales periódicas, divididas a su vez en dos grupos: periódicas puras, en las que el periodo empieza inmediatamente después de la coma (por ejemplo, , y periódicas mixtas, en las que el periodo no se inicia justo después de la coma (como sucede en

Expresión fraccionaria de un número decimal

Dado un número decimal o exacto o de naturaleza periódica (ya sea pura o mixta), siempre es posible hallar una fracción que lo represente, llamada su fracción generatriz. Cuando el decimal es exacto, la fracción generatriz se calcula colocando en el numerador el número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya; si es periódico puro o mixto, se procede según el ejemplo.

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