Conceptos de programación lineal

La técnica matemática conocida por programación lineal se utiliza para obtener una solución óptima a un problema condicionado por unas variables de partida sujetas a ciertas restricciones. Un problema clásico de la programación sería el siguiente: teniendo n productos del tipo A y m del tipo B, que pueden envasarse en dos clases de paquetes en diferentes proporciones y con un precio distinto para cada paquete, cuántos paquetes de cada tipo deberán formarse para obtener una cantidad máxima de ingresos.

En el planteamiento del problema se manejan varios conceptos esenciales:

• Las variables.
• Las restricciones que se imponen, expresadas por inecuaciones lineales.
• La función objetivo, de tipo lineal, que describe el problema.

El grupo de las soluciones posibles recibe el nombre de conjunto restricción o conjunto solución factible. La solución debe situarse en el área definida por las inecuaciones de restricción, que se conoce por región factible.

Región factible del sistema de inecuaciones lineales:

La región factible puede estar acotada, como en la figura, o no acotada. Cuando está acotada, se representa gráficamente como un polígono con un número de lados menor o igual que el de restricciones (en la figura, el polígono acotado tiene cuatro lados, y las restricciones también son cuatro).

Se llama solución óptima a la que maximiza o minimiza la función objetivo. Esta solución si es única siempre se encuentra en un vértice o punto extremo de la región factible.

Resolución por método gráfico

Para resolver gráficamente un problema de programación lineal, se hace lo siguiente:

• Se representan gráficamente las inecuaciones del sistema, obteniéndose el conjunto restricción.
• Si la función objetivo es f (x,y)= ax + by, se trazan rectas paralelas a esta función (que serán de la forma ax + by=k) y que pasen por cada uno de los vértices del conjunto restricción.
• Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima) sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen.

Esta técnica se conoce por método de las rectas de nivel.

Método algebraico de resolución

Para resolver un problema de programación lineal por métodos algebraicos, se aplica el siguiente procedimiento operativo:

• 1. Se definen las variables.
• 2. Para cada restricción existente se escribe una inecuación lineal representativa.
• 3. Se define la expresión matemática de la función objetivo.
• 4. Se construyen sistemas cuadrados de ecuaciones a partir del conjunto inicial de inecuaciones lineales. Por ejemplo, si se tuvieran cuatro inecuaciones con dos incógnitas, se podrían construir seis sistemas distintos de ecuaciones lineales (sustituyendo la desigualdad por igualdad).
• 5. Se resuelven todos estos sistemas y se anota el valor de los puntos obtenidos como solución.
• 6. Se comprueban estos puntos en cada una de las inecuaciones. Los que cumplan todas las restricciones serán los vértices de la región factible.
• 7. Se calcula el valor de la función objetivo para cada vértice.
• 8. La solución óptima será aquella para la cual la función objetivo es máxima (o mínima, según el planteamiento del problema).

Esta técnica recibe el nombre de método de los vértices.

Tipos de soluciones

En los problemas de programación lineal con dos variables pueden darse varios tipos de soluciones óptimas:

• Solución única.
• Solución múltiple (infinitas soluciones).
• Solución no acotada (ausencia de solución), cuando la función objetivo no tiene valores extremos, pues la región factible es no acotada.
• Solución no factible, cuando no existe región factible por falta de puntos comunes en el sistema de inecuaciones.
• Solución degenerada, si en un solo punto (que se dice degenerado) coinciden tres o más de las rectas que limitan la región factible.