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Regla de Tres

Regla de Tres

La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas si el cartel del mercado marca el precio de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.

Las proporciones

Una proporción es la igualdad entre dos cocientes (a / b = c / d). Cuando dos cocientes son iguales, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de los medios (b y c); por tanto, en la proporción se cumple que: a · d = b · c.

Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando su cociente se mantiene constante, es decir, si una de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma medida. Por ejemplo, cuantos más kilómetros haga un coche, más combustible gasta y, por tanto, se dice que ambas magnitudes son proporcionales (cociente constante).

La regla de tres se utiliza para calcular valores desconocidos de magnitudes proporcionales. Las operaciones con las que se resuelve son muy sencillas: la multiplicación y la división. Lo realmente importante es saber plantear la regla de tres.

En el dibujo observarás que los árboles son proporcionales en cuanto al tamaño, pues los más pequeños son la mitad de los más grandes.

Determinación del cuarto término

Es una operación que nos sirve para calcular uno de los términos de una proporción conociendo los otros tres. Se llama supuesto a la parte del problema que conocemos e incógnita a la que debemos calcular.

Para poder plantear la relación de proporción es necesario que los términos a y b pertenezcan a una misma magnitud y que los términos c y d pertenezcan a otra magnitud, pero relacionada con la anterior.

Esta relación se expresa matemáticamente así: a / b = c / d.

Veámoslo con un ejemplo: Queremos saber cuánto nos costarán 1.356 bolígrafos si una caja que contiene 10 bolígrafos cuesta 3 euros. El número de bolígrafos sería una magnitud (a = 10 bolígrafos y b = 1.356 bolígrafos) y el dinero sería la otra magnitud (c = 3 euros y d = x euros). De esta forma, si 10 bolígrafos cuestan tres euros, 1.356 bolígrafos nos costarán x (la incógnita que debemos averiguar). Así, la relación de proporción que se plantea es: 10 / 1356 = 3 / x.

La regla de tres simple

La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta la otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o inversamente proporcional, si cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo trabajado, menos tiempo de ocio).

Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional. Si de a tenemos b, entonces de c tendremos d:

Si la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional, para resolver la regla de tres multiplicamos "en cruz", es decir:

a · d = c · b

Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos "por filas", es decir:

a · b = c · d

Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a Miren 25 cromos?

Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La relación de proporción que se plantea será entonces:

Para resolver multiplicamos "en cruz" y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x = 25 · 60 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro.

Otros métodos de cálculo

La regla de tres mediante proporciones

Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una proporción es la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d).

Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla de tres tendríamos: (a / b = c / x).

Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a · x = b · c, de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término.

El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres simple) también podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25 cromos) = (60 céntimos / x céntimos)

Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro.

La regla de tres reduciendo a la unidad

Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1 para simplificar los cálculos.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un cromo pagó: 60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría costado comprar 25 cromos, tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un cromo para poder calcular el precio de cualquier número de cromos tan sólo multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado.

La regla de tres compuesta

Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.

Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla: descomponer en reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Veamos un ejemplo:

Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que en hacer una mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajado el carpintero si Koldo se gasta 950 euros en mesas?

Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros). Luego, hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 = 10 mesas). Y por último calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar las mesas por las que Koldo ha pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para recibir los 950 euros de Koldo, el carpintero ha tenido que trabajar durante 30 horas.

Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres simples a la vez.

La regla de tres compuesta directa

La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si utilizamos el método directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres simples, ya que el planteamiento es inmediato. Debemos recordar que hay que multiplicar "en cruz" si la relación entre las magnitudes es directamente proporcional o "en fila" si la relación es inversamente proporcional.

Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios han empleado 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60 operarios trabajando 9 horas al día en construir 2,7 km más de autopista?

La solución es:

km construidos trabajadores días horas
1º caso 0,5 45 10 8
2º caso 2,7 60 x 9

Las relaciones que existen entre las magnitudes del problema son las siguientes: a más trabajadores menos días (inversa), a más horas menos días (inversa) y a más kilómetros más días (directa). Y por tanto:

Porque

2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9

x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270 = 36 días.

La regla de tres en la resolución de problemas

Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos reglas de tres sin ser conscientes de que lo estamos haciendo..

Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son muy diversos.

  • Descuentos en los precios de artículos o incrementos.
  • Cálculo del IVA de los productos.
  • Cálculo de interés simple y compuesto.
  • Cálculo del índice de precios al consumo.

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