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Resolución de ecuaciones mediante matrices

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Resolución de ecuaciones mediante matrices

Durante los siglos XVIII y XIX se desarrollaron diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado basados en la teoría de matrices. A los ya consabidos procedimientos gráficos y algebraicos usados desde antiguo se sumaron los más elaborados que propusieron, con casi un siglo de diferencia, Gabriel Cramer y Eugène Rouché.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) se utilizan comúnmente tres tipos de procedimientos:

  • Métodos algebraicos, clasificados como métodos de sustitución, igualación o reducción (ver t6).
  • Métodos gráficos, donde cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, en el caso de que el sistema sea de tres incógnitas, de forma que las soluciones del sistema coinciden con los puntos de intersección de todos los planos (ver t6).
  • Métodos matriciales, basados en el uso de la teoría de matrices.

Métodos matriciales

Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la manera siguiente:

C × X = B

donde C es la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y B la de los términos independientes (ver t15).

En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos matriciales se emplean normalmente dos procedimientos alternativos: el de la matriz inversa y el método de eliminación gaussiana.

El método de la matriz inversa (ver t15) consiste en hallar la matriz inversa de C para obtener la matriz de las incógnitas, efectuando la operación C-1 × B

X = C-1 × B

Por su parte, el método de eliminación gaussiana (ver t15) consiste en obtener una matriz triangular equivalente a la matriz ampliada del sistema.

Interpretación geométrica

Si se considera que una ecuación del tipo ax + by + cz + d = 0 puede interpretarse geométricamente como la ecuación de un plano, un sistema cuadrado de tres ecuaciones lineales se corresponde con tres planos en el espacio cartesiano. De esta forma, las soluciones del sistema son los puntos de confluencia de los tres planos.

En el análisis geométrico de las posiciones relativas de dos planos, pueden darse tres situaciones distintas:

  • Si los planos se cortan en una recta común, se dicen secantes.
  • Cuando tienen todos sus puntos en común, se llaman coincidentes.
  • Si no se cortan, se dicen paralelos.

El estudio geométrico de planos en el espacio tiene interés para la discusión de sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:

  • Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
  • El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.

En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución única).

Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita Xi según la fórmula:

siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.

Ejemplo de resolución de un sistema por la regla de Cramer.

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