Estas en:

Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones con varias incógnitas

Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones con varias incógnitas

El estudio de los sistemas en que aparecen ecuaciones de segundo grado aplica, en esencia, las mismas técnicas de resolución utilizadas en los sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos generales son también extensibles a la resolución de sistemas de inecuaciones.

Sistemas de ecuaciones cuadráticas

Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales (ver t6). Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:

  • Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
  • Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
  • Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.

Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.

Resolución por métodos gráficos

Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por métodos gráficos. Para ello, ha de tenerse en cuenta que:

  • Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.
  • Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de curvas cónicas, ya sean circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.

Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:

  • Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos puntos, el sistema es compatible determinado.
  • Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible indeterminado.
  • Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano, el sistema es incompatible (carece de solución).

Inecuaciones lineales con varias incógnitas

Una inecuación lineal con varias incógnitas responde a la fórmula general siguiente:

ax + by + cz + ... + d < 0 (inecuación en sentido estricto), o bienax + by + cz + ... + d £ 0 (inecuación en sentido amplio).

Para obtener la solución de la inecuación, se despeja una de las incógnitas. Por ejemplo, en una inecuación lineal con dos incógnitas, del tipo ax + by + c < 0, despejando se obtendría que: y < (-ax - c)/b.

Esta solución tiene una interpretación gráfica interesante si se considera que la igualdad y = (-ax - c)/b corresponde una recta en el plano. Por tanto, la desigualdad para el signo menor (<) incluye todos los puntos del plano situados por debajo de dicha recta. Así, la resolución de una inecuación lineal es un semiplano, tal que:

  • Si se trata de una inecuación en sentido estricto, no incluye a los puntos de la recta que limita al semiplano.
  • Si es una desigualdad en sentido amplio, los puntos de la recta son también soluciones de la inecuación.

Sistemas de inecuaciones y ecuaciones lineales

Dado un sistema formado por una inecuación lineal y una ecuación también lineal, la solución es el conjunto de puntos de la semirrecta que representa a la ecuación lineal contenida en el semiplano solución de la inecuación.

Cuando el sistema está formado por dos inecuaciones lineales, la solución es la porción del plano que contiene los dos semiplanos correspondientes a la solución de cada una de las inecuaciones.

Resolución gráfica de un sistema formado por una inecuación y una ecuación lineales.

Resolución gráfica de un sistema formado por dos inecuaciones lineales.

Enviar la página por correo a

* Campos obligatorios

Muchas gracias.
El artículo ha sido enviado correctamente.

cerrar ventana
¡Ayúdanos a mejorar! Tu opinión es importante, por lo que agradecemos que nos envíes tus opiniones y sugerencias a info@hiru.cominfo@hiru.com

* Campos obligatorios
cerrar ventana

 

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

 

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

  • facebook

    Facebook

    Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.

     
  • eskup

    Eskup

    Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

     
  • delicious

    Twitter

    Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.

     
  • tuenti

    Tuenti

    Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

     
  • technorati

    Google Buzz

    Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.

     
  • meneame

    Meneame

    Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

     
 

 

cerrar ventana
 

Derechos de reproducción de la obra

 

Los derechos de propiedad intelectual de la web hiru.com y de los distintos elementos en ella contenidos son titularidad del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco.

No obstante, se permite el uso de los contenidos de hiru.com en el ámbito educativo, siempre que se haga referencia y bajo las condiciones de licencia Creative Commons CC-BY-NC-SA.
Para más información: descarga el PDF (969,4k) .

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco se reserva la facultad de efectuar, en cualquier momento y sin necesidad de previo aviso, modificaciones y actualizaciones sobre la información contenida en su web o en su configuración o presentación.

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no garantiza la inexistencia de errores en el acceso a la web, en su contenido, ni que éste se encuentre oportunamente actualizado, aunque desarrollará los esfuerzos precisos para evitarlos y, en su caso, subsanarlos o actualizarlos a la mayor brevedad posible.

Tanto el acceso a la web, como el uso que pueda hacerse de la información contenida en el mismo son de la exclusiva responsabilidad de quien lo realiza. El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no responderá de ninguna consecuencia, daño o perjuicio que pudieran derivarse de dicho acceso o uso de información, con excepción de todas aquellas actuaciones que resulten de la aplicación de las disposiciones legales a las que deba someterse en el estricto ejercicio de sus competencias.

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no asume responsabilidad alguna derivada de la conexión o contenidos de los enlaces de terceros a los que se hace referencia en la web.

La utilización no autorizada de la información contenida en esta web, el uso indebido de la misma, así como los perjuicios y quebrantos ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco dará lugar al ejercicio de las acciones que legalmente le correspondan a dicha Administración y, en su caso, a las responsabilidades que de dicho ejercicio se deriven.

  Privacidad

Los datos aportados por la persona interesada se utilizarán, con carácter único y exclusivo, para los fines previstos en el procedimiento o actuación que se trate.

El órgano responsable del fichero donde se recogen dichos datos es la Dirección de Aprendizaje Permanente del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco, ante quién podrán ejercerse los derechos de acceso, rectificación, cancelación y oposición. Para tal fin contacta con info@hiru.com.

cerrar ventana