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Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas.

Matriz identidad y matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define matriz identidad I como la que, con la misma dimensión n, está formada por elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo valor es 1. Es decir: A × I = I × A = A.

Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1 también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz identidad: A × A-1 = A-1 × A = I.

Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o regular, mientras que cuando carece de inversa se denomina matriz singular.

Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A × X = I, siendo los coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas. También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según el siguiente esquema:

  • Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2, ..., n, se forma primero su matriz ampliada (A | I).
  • Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz hasta conseguir reducir A a la matriz unidad. Las mismas transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A-1.
  •   Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices ampliadas son:
  • Multiplicación de una fila por un número distinto de cero.
  • Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra.
  • Intercambio de filas.

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:

donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

Resolución de un sistema por la matriz inversa

Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo:

Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución (es incompatible).

Resolución de un sistema por eliminación gaussiana

El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta de los siguientes pasos:

  • Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes.
  • Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos.
  • Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata.
  •   Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:
  • Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con k ¹ 0, el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).
  • Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, el sistema es incompatible (carece de solución).
  • Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación gaussiana:

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