MATEMATIKA

Eragiketa bakunak

Ziurrenik entzungo zenuen "zenbaki gorritan gaude" esamoldea; honek esan nahi du banku kontuaren saldoa 0¬ baino txikiagoa dela, eta beraz dirua zor diogula bankuari. Orduan kontuak saldo negatiboa duela esaten dugu eta zenbaki osoaz adierazten da. Adibidez, -100 euro. Tenperaturak adierazteko ere zenbaki osoak erabiltzen ditugu, adibidez, hotz handia egiten badu tenperatura 0 azpitik dagoela esaten dugu: "atzoko tenperaturarik baxuena -2 gradukoa izan zen", edo zenbait eraikinen lurpeko solairuetara jaisten garenean eta igogailuan -1 botoia sakatzen dugunean, edo baita urpekariak itsaso sakonean -1.000 metrora sartzen direnean ere.

Zenbaki osoak

Zenbaki osoen multzoa Z hizkiaz adierazten da eta hurrengoek osatzen dute:

  • Zenbaki negatibo osoak: Z- = {..., -4, -3, -2, -1}.
  • Zero zenbakia: 0.
  • Zenbaki positibo osoak: Z+ = {... , 1, 2, 3, 4}.

Zenbaki naturalak zenbaki osoak eta positiboak dira eta batuketa-ikurra (+) eramaten du aurrean, nahiz eta ikurra erabiltzea beharrezkoa ez den eta idatzi ohi ez den. Zenbaki positibo oso bakoitzari zenbaki negatiboa dagokio, eta aurrean kenketa-ikurra (-) eraman behar du.

Zenbaki osoak lerro zuzen batean adieraziko bagenitu, A zenbaki osoa B zenbaki osoa baino txikiagoa dela ikusiko genuke, baldin eta zenbakiak adierazteko orduan haren ezkerraldean jartzen badugu.

Norabide positiboa zerotik eskuinerantz edo gorantz doan norabidea da, eta norabide negatiboa zerotik ezkerrerantz edo beherantz doan norabidea da. Arau zehatzak daude zenbaki osoak antolatzeko eta konparatzeko:

  • Bi zenbaki osoak positiboak badira, balio absolutu txikiena duen zenbakia izango da txikiena:4 < 8
  • Bi zenbaki osoak negatiboak badira, txikiena izango da balio absolutu haundien duen zenbakia: -8 < -4
  • Bata positiboa eta bestea negatiboa bada, negatiboa izango da txikiena: -8 < 4
  • Zenbaki negatibo guztiak zeroa baino txikiagoak dira: -8 < 0
  • Zenbaki positibo guztiak zeroa baino handiagoak dira: 4 > 0

Balio absolutua

Zenbaki oso baten balio absolutua zerotik konta daitekeen unitate-kopurua da. Horrela, zenbaki osoen antolaketa zeroaren araberakoa da. Beste era batean esanda, zenbaki oso baten balio absolutua batuketa (+) edo kenketa (-) ikurrak kenduta lortzen den zenbaki naturalaren balioa da. Barren artean adierazten dugu:

Zenbaki absolutua Balio absolutuaren adierazpena Balio absolutua
+5 |+5| 5
-5 |-5| 5

Zenbaki oso baten balio absolutua zerotik konta daitekeen unitate-kopurua da. Horrela, zenbaki osoen antolaketa zeroaren araberakoa da.

Zenbaki osoen batuketa

Saltoki handietako igogailuan 2. solairuan (+2) sartu eta 3 solairu igotzen baditugu (+3), 5. solairuan (+5) agertuko gara. Zenbaki osoen batuketa baten adibidea da hori. Konturatzen ez bagara ere, zenbaki osoen batuketa etengabe erabiltzen dugu.

Zenbaki osoen batuketaren hainbat kasu dago::

  • Zenbaki positibo osoen batuketa: zenbakien balio absolutuak batu eta emaitzari ikur positiboa jartzen zaio. (+3) + (+5) = (+8)
  • Zenbaki negatibo osoen batuketa: zenbaki balio absolutuen balioak batu eta emaitzari ikur negatiboa jartzen zaio. (-3) + (-5) = (-8)
  • Ikur desberdineko bi zenbaki osoen batuketa: balio absolutuen kenketa egin eta balio absolutu handiena duen zenbakiaren ikurra jarriko diogu. (+3) + (-8) = (-5)

Gainera, zenbaki osoen batuketan zenbait berezitasun aurkituko ditugu.

Zenbaki osoen kenketa

Saltoki handietako igogailuan 2. solairuan (+2) sartu eta 3 solairu jaisten bagara (-3), -1 solairuan (-1) agertuko gara. Egin dugun kenketa, 2 - 3 = -1, zenbakien batuketa bihur dezakegu.

2 - 3 = -1 = 2 + (-3) = -1

Hau gertatzen da gure lekualdaketari beheranzko 3 solairu batzen dizkiogulako (beheranzko mugimendua, zenbaki negatibo batez adierazita).

Bi zenbaki osoen kenketa egiteko kentzailearen aurkakoa (aurk) batuko diogu kenkizunari.

Zenbaki oso baten aurkakoa

Balio absolutu bera eta ikur desberdina duten zenbaki osoei aurkako zenbaki osoak deituko diegu. Horien batura zero da eta biak zerotik distantzia berera daude.

(+3) aurk = (-3) ; (-14) aurk = (+14); (+5) + (-5) = 0

Beraz, zenbaki osoen kenketa egiteko:

7 - (-2) = 7 + aurk (-2) = 7 + 2 = 9

Batuketa eta kenketaren konbinazioa

Batuketak eta kenketak dituzten zenbaki osoen eragiketak egitean parentesia erabiliko dugu, ikurrak ez daitezen jarraian ager:

2 + (-9) + (5 + 1) - (3 - 4)

Bi modutan egin daiteke:

  • Parentesi guztiak kendu eta batuketa eta kenketak era normalean egin.
  • Lehenengo, parentesi artean dagoenaren eragiketa egin eta gero ikurrak kendu.

Bi kasuetan parentesiak kendu beharrean gaude, baina era desberdinean egingo dugu, aurrean dugun ikurraren arabera.

  • Parentesiak kenketa-ikurra (-) aurrean duenean.Parentesia kentzeko, barruan dauden zenbaki guztien ikurrak aldatu egin behar dira. (5 + 1) - (3 - 4) = (5 + 1) - 3 + 4
  • Parentesiak batuketa-ikurra (+) aurrean duenean.Parentesia, barruan dituen zenbakien ikurrak aldatu gabe ken daiteke. (5 + 1) - (3 - 4) = 5 + 1 - (3 - 4)

Hala ere, batzuetan parentesiak kortxete deituko diegun beste parentesi batzuen barruan ipintzen dira.

Eragiketak kortxeteekin

Kortxeteak [ ] itxurako parentesiak dira eta eragiketa matematiko batean parentesi bat baino gehiago dagoenean eta batzuk besteen barruan daudenean erabiliko ditugu.

Adibidez, 10 - [8 - (5 - 2) + (-2 + 3)] + 1

Kortxeteen bidezko eragiketa hau bi modutara egin dezakegu:

  1. Lehena
    1. Parentesi barruko eragiketa egingo dugu
    2. Kortxete barruko eragiketa egingo dugu. 10 - [8 - 3 + 1] + 1 = 10 - [6] + 1 = 5
  2. Bigarrena
    1. Parentesia kenduz
    2. Kortxeteak kenduz. 10 - [8 - 5 + 2 - 2 + 3] + 1 = 10 - 8 + 5 - 2 + 2 - 3 + 1 = 5

Kenketa-ikurra (-) aurrean duen kortxetea kentzean, barruan dauden zenbakien ikurrak aldatu egingo ditugu

Zenbaki osoen bidezko biderketa

Bi zenbaki oso biderkatzeko beren balio absolutuak biderkatuko ditugu. Biderkatzaileak ikur berekoak badira, emaitzaren ikurra positiboa izango da eta desberdinak badira, berriz, negatiboa.

Biderketa x (x hizkia) edo · (puntu) ikurrarekin irudikatzen da.

Taula honetan zenbaki osoen biderketaren emaitzen artean izan daitezkeen ikur konbinazioa dauzkagu.

Biderkaduraren ikurren araua
+ x + = +
- x - = +
+ x - = -
- x + = -

Hona hemen biderkadura hauen adibide batzuk:

(+8) · (+2) = + 16 (- 8) · (- 2) = + 16 (+8) · (- 2) = - 16 (- 8) · (+2) = - 16

Zenbaki osoen biderkadurak, zenbaki naturalen biderkaduraren propietate berdinak ditu.

Indian jaiotako Brahmagupta matematiko eta astronomoa izan zen kenketa-ikurrak erabiltzen lehena. Gainera, oinarrizko lau eragiketak (batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa) azaldu zituen. Matematiko honek, berak "ondasun" (zenbaki positiboak), "zorrak" (zenbaki negatiboak) eta "gabezia" (zero) deitutakoak erabiltzen zituen oinarrizko eragiketetan.

Zenbaki osoen biderkaduraren propietateak

  • Propietate trukakorraBiderkatzaileen ordenak ez du emaitzan eragiten. Adibidez: (a) · (b) = (b) · (a)
  • Propietate elkarkorra Zenbaki osoen biderkaduraren faktoreak modu desberdinean elkar daitezke. Adibidez: (a) · [(b) · (c)] = [(a) · (b)] · (c)
  • Elementu neutroa Edozein zenbaki osoren biderkadura bider 1 egin eta emaitza zenbaki bera izango da. Adibidez:: (a) · 1 = (a)
  • Batuketa edo kenketarekiko propietate banakorra Zenbaki bat batuketa edo kenketa batekin biderkatzeko, batuketa edo kenketaren osagai bakoitza zenbaki horrekin biderkatu eta emaitzak batu edo kendu egingo dira. Adibidez: a · (b + c) = a · b + a · c

Zenbaki osoen bidezko zatiketa

Bi zenbaki oso zatitzean, lehenik beren balio absolutuak zatitu eta zatidurari batuketa (+) edo kenketaren (-) ikurra jarriko diogu, zatitzailea eta zatiduraren ikurrak berdinak izan ala desberdinak izan.

Zatiketa / ikurrarekin: (bi puntu) ikurrarekin edo ÷ ikurrarekin irudikatzen da.

Emaitzaren ikurren araua
+ / + = +
- / - = +
+ / - = -
- / + = -

Zenbaki osoen zatiketak ez du propietate trukakorrik betetzen, hau da, zatikizuna eta zatitzailearen lekuak ezin ditugu aldatu. Hala ere baditu beste hainbat berezitasun:

  • 1 zenbaki elementu neutroa da. Edozein zenbaki oso zati 1 zenbaki bera izango da:(+8) : (+1) = 8(-9) : (+1) = -9
  • Ezinezkoa da zati 0 egitea, ez baitago zenbakirik bider 0 (hots, zatitzailea) egitean zero (zatikizuna) ematen ez duenik.
  • Bi zenbaki osoen zatidura ez da beti zenbaki osoa izaten. Badakigu bi zenbaki osoen biderkadura zenbaki oso bat dela, baina zatiduran ez da gauza bera gertatzen. Zergatik? Adibide bat ikus dezagun: (-2) : (+4) = ¿? Ez dago zenbaki osorik bider (+4) egitean (-2) ematen duenik.

Eragiketa-hierarkia

Zenbaki osoen bidezko eragiketa konbinatuak egitean, hau da, aldi berean batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa egitean, ezin dugu nahi bezala egin. Beharrezkoa ez bada ere, ezkerretik hasten da eragiketa egiten. Baina, eragiketen arteko hierarkia bat badago, errespetatu egin behar duguna. Hurrengoa da:

  1. Parentesiak eta kortxeteak baldin badaude, barruan dauden eragiketak egingo ditugu lehenik.
  2. Biderketa eta zatiketak egingo ditugu gero.
  3. Batuketa eta kenketak egingo ditugu hurrena.

Ikus dezagun adibide bat hobeto ulertzeko:

  1. -4 · 2 + (-3) · 7 - (2 + 2). Lehenik parentesia burutzen da.
  2. -4 · 2 + (-3) · 7 - 4. Gero, biderketak egiten dira.
  3. -8 + (-21) - 4. Azkenik, batuketak eta zatiketak ebazten dira. Emaitza: -33 da.

Robert Recorde

Oxford eta Londreseko unibertsitateetako irakaslea izan zen Robert Recorde (1550-1558) britainiarrak lehenbizikoz erabili zuen (=) berdinketa-ikurra. 1557. urtean idatzitako Asmamenaren zorroztasuna liburuan erabili zuen, eta haren marrak gaur egungoak baino luzeagoak izan arren, bi zuzen paralelo baino gauza berdinagorik ez dagoela zioen.