MATEMATIKA

Zenbaki arrazionalak

Unitate bat tamaina bereko zatietan (adibidez, pastela) zatitu nahi izanez gero, zatiki kontzeptua intuizioaren bitartez agertzen da. Lortutako banakako osagai bakoitza unitatearen zati frakzionarioa da. Kontzeptualki, horrela lortutako osoko eta zatikizko zenbakien multzoak beste multzo orokorrago bat osatzen du, zenbaki arrazionalena delakoa, alegia.

Zatikizko zenbakiak

Zatikizko zenbaki bat osoko zenbakien (a, b) pare ordenatu gisa ikus daiteke eta a, b Î Z, adierazten da edo zatiki moduan. Horrela, a-k zenbakitzaile izena hartzen du eta b-k, 0 ez bezalakoa izan behar duenak, izendatzaile izena. Zatikizko zenbakiak honelakoak izan daitezke:

  • Zatiki jatorrak, zenbakitzailea izendatzailea baino txikiagoa denean.Adibidez:eta abar.
  • Sasi-zatikiak, kontrakoa gertatuz geroAdibidez: eta abar.

Sasi-zatikiak zenbaki nahasi gisa ere adierazten dira eta osoko zenbaki bat eta zatiki jatorra baturik osatzen dira. Adibidez, 1 gehi , ere idatzi daiteke,1 zenbaki nahasiari dagokiona, alegia.

Sasi-zatikia zatiketatzat joz gero, zenbakitzailea zatikizuna da (Z) eta izendatzailea zatitzailea (z). Beraz, ordezkatzen duen zenbaki nahasiak, era generikoa izango du: , za zatiketaren zatidura izanik eta h hondarra.

Zenbaki arrazionalen multzoa

Zenbaki osoak eta zatikizko zenbaki positibo eta negatiboak biltzen dituen multzoak zenbaki arrazionalen multzoa eratzen du, Q hizkiaz ezagutzen dena. Zenbaki arrazional bat Z x Z* korrespondentziaren bikoteen multzoko baliokidetasun-mota gisa definitzen da eta Z* = Z - {0}, da. Hori dela eta,(z1, z2) bikote bakoitzari z = z1/z2 gisa definitutako z zenbaki arrazional bati egokitu behar zaio. Adibidez, (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), eta abar, bikoteak baliokideak dira eta 1/3 1/3 zenbaki arrazionalak adierazitako baliokidetasun-mota berari dagozkio.

Zenbaki arrazionalen adierazpena

Zenbaki arrazionalen Q multzoa, zenbaki osoak bezala, zuzen baten gaineko balore diskretu sorta gisa irudikatzen da. Zenbaki arrazionalek ere ez dute zuzena betetzen, osoen artean ezin konta ahala balore tartekatzen badituzte ere. Bi zenbaki arrazional emanik, n eta m, n m baino handiagoa da edo berdina (n ³ m), baldin eta n - m zenbaki arrazional positiboa edo zeroa bada; hau da, zenbaki arrazionalen multzoa ordenaturik dago.

Q multzoaren irudikapen grafikoa.

Eragiketak zenbaki arrazionalekin

Zenbaki arrazionalen multzoan bi eragiketa edo konposizio-lege definitzen dira, batuketa eta biderkadura deiturikoak. Bi zenbaki arrazional emanda, a = (a1, a2) eta b = (b1, b2), batuketa honela definitzen da:

Zenbaki arrazionalen biderkadura era honetara lortzen da:

Zatiki baten adierazpen hamartarra

Zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko zatiketa eginik, zatikiak zenbaki hamartar gisa adieraz daitezke. Orduan, hauexen artean bereizten da:

  • Adierazpen hamartar zehatzak, honako hauei dagozkienak: 10eko berreturako bere izendatzailea daukaten zatiki hamartar haiei eta zatiki hamartar batez baliokideak diren zatikiei. Adibidez
  • Adierazpen hamartar periodikoak, bere aldetik bi multzotan banaturik: periodiko hutsak, periodoa komaren oste-ostean hasten direnak (adibidez, ; eta periodiko nahasiak, periodoa komaren ostean hasten direnak (honako honetan gertatzen den bezala

Zenbaki hamartar baten zatikizko adierazpena

Zenbaki hamartarra edo zehatza edo izaera periodikokoa (dela hutsa, dela nahasia), ordezkatzen duen zatiki bat aurkitu ahal da beti, bere zatiki sortzailea deiturikoa. Hamartarra zehatza izanez gero, zatiki sortzailea honela kalkulatzen da: zenbakia zenbakitzailean hamarrenik gabe ipintzen da eta izendatzailean, unitatea dauden hamarren beste zero jarraitua; periodiko hutsa ala nahasia bada, adibidearen arabera egiten da.

Rhinden papiroa

Antzinako egiptoarrek ezagutuak zituzten zatikiak beren garaian. Horrela ematen du aditzera 3700 urte dauzkan papiro batek. Bertan hauxe irakur zitekeen: «AH, guztizkoak eta beraren zazpirenak 19 batzen dute». Henry Rhind antzinakoen merkatari eskoziarrak erosi zuen 1858an aztarna historiko garrantzitsu hori Luxorreko denda batean.

 

Zenbaki irrazionalak

Bi edozein zenbaki arrazional emanik, beraien artean dagoen beste zenbaki arrazional bat aurki daiteke beti; adibidez, m-ren eta n-ren artean dago zenbaki arrazionala (m + n) / 2. Hala ere, zenbaki arrazionalek ez dute zuzena betetzen. Nola ulertzen da hori? P edo 2ren erro karratua bezalako zenbakiak imajinatzea aski da zatiki gisa ezin direla adierazi jakiteko. Klase horretako zenbakiei irrazionalak esaten zaie eta Q multzoko osagaien artean diren zuzeneko hutsuneen artean «tartekatzen dira».

 

Zenbaki hamartarren idazkera

Simon Stevin (1548-1620) matematikari flandestarrak erabili zuen lehendabiziko aldiz idazkera sistematikoa zenbaki hamartarrak adierazteko. Hala eta guztiz ere, idazkera horren gaur eguneko bertsioa Willbord Suelliusi zor zaio, Herbeheretan XVII. mendean bizi izan zena.

 

Zatikizko adierazpenetako erroreak

Zatiki baten adierazpen hamartarra zenbaki hamartar periodikoa izanez gero, ebazpen horren hurbilketak egin ohi dira sarri. Adibidez, 1/3 = 0,33333... Kasu praktikoetan 0,33 gisa idaztea nahikoa da. Horrela eginez gero, balorean errore bat sartuko da, termino absolutuetan neur daitekeena (errore absolutua, berdin benetako eta hurbilekoaren arteko balorea) edo erlatiboetan ere neur daitekeena (errore absolutuaren eta benetakoaren arteko zatidura, eskuarki ehunekoetan adierazia).