Lehen mailako ekuazioak
Berdintzak, identitateak eta ekuazioak
Adierazpen algebraikoa zera da: kalkuluaren eragiketen zeinuen bitartez elkartutako zenbakien eta letren nahasketa. Bi adierazpen algebraiko berdintzean, berdintza bat lortzen da.
Adierazpen algebraikoen berdintzari ekuazioa deitzen zaio, bakar-bakarrik aldagai edo aldagaien (ekuazioaren emaitzak) zenbait baliorentzat betetzen denean; eta identitatea, dauzkan aldagai edo aldagaien (ezezagunak) balio guztientzat betetzen bada. Bi ekuazio baliokideak dira ebazpen ber-berak badituzte.
| Bidaiari! Hilobi honetan datza Diofantoren gorpua. Testu hau irakurri ondoren haren bizitzari buruzko datuak jakin ahal izango dituzu. Haurtzaroak bere bizitzaren seirena hartu zuen, gero hamabirena igaro zen haren masaila biloz bete zen arte.Haren bizitzaren zazpirena igaro zen ezkondu arte. Bost urte geroago lehen semea jaio zen, hura aitaren adin osoaren erdia zuenean hil zen.Lau urte goibel-goibelak eman ondoren, semearen heriotzagatik zeharo hunkituta, hil egin zen Diofanto. Honetatik guztiagatik, esadazu zenbat urte bizi izan zen Diofanto. |
|---|
K.o. V. edo VI. mendeko epigrama, Diofantoren ikasle batek proposaturikoa ekuazio moduan, jakintsu greko honen bizitzari buruzko datuak azaltzeko.
Ekuazio-motak
Ekuazio algebraikoak irizpide desberdinen arabera sailkatzen dira:
- Ezezagun kopuruaren arabera: ezezagun bat, bi, hiru,..., edo n ezezagun dituzten ekuazioak.
- Gradu goreneko terminoaren arabera: lehen mailakoak (linealak), bigarren mailakoak (koadratikoak), hirugarren mailakoak (kubikoak), ... n mailakoak.
- Aldagaiak aurkezteko moduaren arabera: osoak, izendatzailean ezezagunik ez dagoenean; zatikizkoak, izendatzaileren batean ezezagunak dituztenak; arrazionalak, ezezagunak erro karratuetan, erro kubikoetan eta abarretan azaltzen ez badira; eta azkenik irrazionalak, ezezagunak aipatutako erro horietakoren baten barnean azaltzen badira.
Berdintzen ezaugarriak
Ekuazio algebraikoen ebazpenerako beharrezkoa da kontuan izatea berdintzen oinarrizko ezaugarriak:
- Ekuazio baten bi atalei zenbaki bera batzen edo kentzen zaienean, ekuazio baliokidea lortzen da.
- Ekuazioaren bi atalak zenbaki berarekin biderkatzen edo zatitzen badira, ebazpena ekuazio baliokidea da. Zatitzen denean zero ez den beste zenbaki batekin izan behar da.
Ezaugarri hauek zatiak tokiz aldatzeko erabiltzen dira eta osagarriak diren bi tekniken bitartez egiten da:
- Ekuazioaren bi ataletan batzea atal batetik bestera aldatu nahi den zatiaren kontrako balioa (ikurra aldatuz).
- Tokiz aldatu nahi den zatiaren alderantzizkoarekin biderkatzea bi atalak.
Lehen mailako ekuazioak ezezagun batekin
Eragiketa algebraikoen emaitza ekuazio baliokideen kontzeptuan oinarritzen da. Ideia honek aplikazio berezia du ekuazio linealetan edo lehen mailakoetan ezezagun bakarra dagoenean (normalean x-ez adierazia), beti zatien zenbakitzailean eta 1 gradura jasoa. Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioaren adibide honako hau da: 3x + 5 = 4 × (1 - x) + 2x.
Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak ebazteko, jarraian dagoen adibidean azaltzen den prozedura orokorra erabiltzen da:
Demagun ekuazio hau:
Ebazteko ondorengo pausu hauek jarraitu behar dira:
- 1. Izendatzaileak kendu egiten dira, bi atalak biderkatuz azaltzen diren izendatzaile guztien multiplo komunetan txikienarekin (adibidean 12 da). Orduan, honako hau lortzen da: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x
- 2. Parentesiak kendu egiten dira, eta hau geratzen da: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x
- 3. Zatiak tokiz aldatu egiten dira, ezezaguna dutenak alde batean elkartuz, eta ez dutenak beste aldean: 9x + 48x - 16x = 48 - 48
- 4. Bi atalak sinplifikatu egiten dira, behar diren eragiketak eginez: 41x = 0
- 5. Ezezaguna bakandu egiten da: x = 0
- 6. Eragiketa ondo dagoen ala ez frogatu egiten da hasierako ekuazioan ezezaguna ordezkatuz.
Inekuazioak
Berdintza eta ekuazio kontzeptuekin batera defini daitezke desberdintza eta inekuazioa. Desberdintza bat ondorengo honengatik gertatzen da: txikiago (<), handiago (>), txikiago edo berdin (£) edo handiago edo berdin (³) ikurren bidez bereizita dauden bi adierazpen algebraiko alderatzeagatik. Desberdintza honen emaitza inekuazio bat da.
Inekuazio bat ebaztea egiaztatzen duten balioa edo balioen multzoa (erroak) aurkitzea da. Honela, emaitza bera duten inekuazio desberdinei baliokideak deitzen zaie. Inekuazioaren adibide bat honako hau izan daiteke: 3x + 5 ³ 4 × (1 - x) + 2x.
Desberdintzen ezaugarriak
Inekuazioak ebazteko desberdintzen ezaugarri hauek hartzen dira kontuan:
- Inekuazio baten bi atalei zenbaki bera batzen edo kentzen zaionean, inekuazio baliokidea lortzen da.
- Inekuazioren bi atalak zenbaki edo kantitate positiboarekin biderkatzen edo zatitzen badira, ebazpena inekuazio baliokidea da; zenbaki edo kantitate hori negatiboak badira, lortzen den inekuazioa ere baliokidea da, baina desberdintzaren ikurra alderantzikatu egin behar da.
Ezaugarri hauek erabiltzen dira, ekuazioetan bezalaxe, atalak tokiz aldatzeko eta erroak edo ebazpenak lortzeko.
Algebraren sorrera
Algebra hitza arabieratik dator, eta Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi-ren (780 inguruan-850) Integrazioaren eta ekuazioen liburua lanetik hartua izan zen. Lan honen jatorrizko izenburuan al-yabra hitza azaltzen zen "berdintzak tokiz aldatzeko araua" bezala itzulita. Ekuazioa hitzak, ordea, latineko aequatio, hitzean du jatorria, "berdintasuna" esan nahi du. "Ekuazio algebraikoa" hitz multzoa etimologikoki aztertzen bada, ikus daiteke matematika modernoaren garapenean buru izan zen Ekialdeko zein Grezia eta Erromako jakinduria islatzen duela.
Hizkera algebraikoa
Ekuazio algebraikoen formulazioan eta ebazpenean hizkuntza berezia erabiltzen da. Honela bada, ezezaguna, aldagaia edo indeterminatua deitzen zaie ekuazioan agertzen diren kantitate ezezagunei. Kantitate ezagunei, berriz, konstanteak edo koefizienteak deitzen zaie. Bestalde, batuketa edo kenketa ikurrez bereizita dagoen kantitate bakoitzari zatia deitzen zaio. Eta atala deitzen zaio berdintza (edo desberdintza inekuazioetan) ikurraren alde bakoitzean dagoen zati multzo bakoitzari.
Inekuazioen ikurra
Inekuazioen ebazpenean arreta berezia jarri behar da ikurren erabileran. Adibidez, bi atalak zenbaki negatiboarekin biderkatzen badira, desberdintza zeharo aldatzen da; hau da, txikiagoa (<) handiago (>), bihurtzen da, eta alderantziz.
François Viète
François Viète (1540-1603), matematikari frantsesa, ekuazio algebraikoetan ezezagunak eta konstanteak izendatzeko hizkiak erabili zituen lehena izan zen. Honek berak garatu zuen metodo bat pi zenbakiaren balioa hamartar ugariz kalkulatzeko.
