Lehen mailako ekuazio sistemak
Ekuazio sistema linealak
Ekuazio sistema lineala deitzen zaio berdinketa algebraiko baten multzoari, non ezezagun bat edo gehiago, 1-engatik berretuta agertzen diren. Ekuazio lineal (edo lehen mailako ekuazioa) honetariko bakoitzak, honelako itxura dauka: ax + by + cz + … = k, non a, b, c... ekuazioaren koefizienteak diren; x, y, z... ezezagunak, eta k aldagai askea (balore konstante bat da).
Ekuazio eta ezezagun kopuru berdina duen sistemari karratua deritzo eta, hauen artean, oso kasu berezi bat bi ekuazio eta bi ezezagun dituena dugu, eta ondorengo itxura du:
Sistema lineal motak
Ekuazio sistema lineal bat aztertzean hainbat kasu ager daitezke:
- Sistemak emaitza badu eta hau bakarra bada, bateragarri determinatua deitzen zaio.
- Hainbat emaitza posible daudenean, bateragarri indeterminatua deitzen zaio.
- Emaitzarik ez badu, ezinezkotzat jotzen dugu eta bateraezina deitzen zaio.
Emaitza berdinak dauzkaten bi ekuazio sistema linealak baliokidetzat hartzen dira. Sistema mota hauen ebazpen teknika nagusiak baliokidetasunean oinarritzen dira, eta haien helburua zera da: hasierako sistema, ebazpen errazagoa duen sistema berri batean bihurtzea.
Berdinketa metodoa
Berdinketa metodoa, bi ekuazio eta bi ezezagun dauzkaten sistemak askatzeko teknika algebraiko arrunt bat da. Ekuazio bakoitzean ezezagun bera askatzean eta lortutako adierazpenak berdintzean datza metodo hau; honela lortutako ezezagun batekin lehen mailako ekuazio bat ebazten da, eta erdietsitako emaitza hasierako ekuazioetan ordezkatzen da.
Demagun, adibidez, ondorengo sistema:
x ekuazio bietan askatzean ondorengoa lortzen da:
Orduan, 
Ordezkapen metodoa
Ordezkapen metodoa bi ekuazio eta bi ezezagun dauzkaten sistemak ebazteko erabiltzen da; ekuazio batean ezezagun bat askatzean eta ondoren beste ekuazioan ordezkatzean datza; honela, ekuazio bakarra dugu ezezagun bakarrarekin. Behin ezezagunaren emaitza ezagutuz gero, egin behar den gauza bakarra bere balioa hasierako sistemaren edozein ekuaziotan ordezkatzea da, ondorioz, geratzen zaigun ezezagunaren balorea lortuz.
Aurreko ekuazio sistema bera hartuko dugu. 
askatzen bada, eta bigarren ekuazioan ordezkatzen bada, honako hau lortzen da:
, orduan x = 2
Laburketa metodoa
Ekuazio sistema linealak ebazteko hirugarren teknika algebraikoa laburketa metodoa da eta ondorengo pausuak dauzka:
- Ekuazio bien atalak zenbaki egoki batzuengatik biderkatu edo zatitzen dira, ezezagunetariko batek bi ekuazioetan koefiziente berbera izan dezan.
- Lortutako bi ekuazioen arteko kenketa egiten da, eta honela ezezagun bat desagertzen da.
- Lortutako ezezagunarekin ekuazioa ebazten da, eta lortutako emaitza hasierako edozein ekuaziotan ordezkatzen da, bigarren ezezaguna kalkulatzeko.
Ondorengo ekuazio sisteman, adibidez:
komenigarria da lehenengo ekuazioa 4-gatik eta bigarrena 3-gatik biderkatzea, eta haien arteko kenketa egitea:
Ekuazio sistemen ebazpenak
Ekuazio sistema lineal bat planteatuz buruketak ebazteko ondorengo pausuak jarraitu behar dira:
- Enuntziatua ulertu ondoren, buruketa planteatu eta koefiziente, konstante eta aldagai edo ezezagunak dituzten ekuazioak sortu.
- Lortutako sistema mota aztertu.
- Ebazpen metodo bat hautatu (algebraikoa edo grafikoa) eta erabili.
- Begiratu emandako emaitzak egokiak diren gure ariketa zehatzerako.
- Planteatutako ekuazioetan emaitzak frogatu.
Ekuazio anitzeko sistema karratuak
Bi ekuazio baino gehiagoko sistema karratuak ebazteko modu erraz bat Gauss-en metodoa dugu. Ekuazioak binaka hartuz eta laburketa metodoa erabiliz beraien artean, ezezagun eta ekuazio kopurua murriztean datza. Era honetan, ezezagun bat askatuta, aurreko ekuazioetan eta kontrako ordenan lortutako balioak ordezkatzen joanez, ezezagun guztiak kalkula ditzakegu.
Ekuazio sistema linealen ebazpena metodo grafikoen bidez
Sistema bateragarri determinatua.
Sistema bateragarri indeterminatua.
Sistema bateraezina.