Zenbaki erreal eta konplexuak
Zenbaki errealen multzoa
Zenbaki errealen R multzoan eskuarki bi eragiketa edo konposizio-lege definitzen dira, batuketa eta biderkadura, alegia. Beraiekiko honako taula honetan adierazten diren legeak egiaztatzen ditu multzo honek.
| Propiedades | Adición | Producto |
|---|---|---|
| Conmutativa | " a, b Î R, a + b = b + a | " a, b Î R, a × b = b × a |
| Asociativa | " a, b, c Î R,(a + b) + c = a + (b + c) | " a, b, c Î R,(a × b) × c = a × (b × c) |
| Elemento neutro | " a Î R, $ 0 Î R tal que a + 0 = 0 + a = a | " a Î R $1 Î R tal que a × 1 = 1 × a = a |
| Elemento simétrico | " a Î R, $ -a Î R tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 | " a Î R a ¹ 0 $-1 a Î R tal que a × a-1 = a-1× a = 1 |
| Distributiva | " a,b,c Î R, a × (b + c) = a × b + a × c | |
Horrela, batuketa eta biderkadura eragiketekiko, zenbaki errealen multzoak gorputz konmutatiboaren egitura algebraikoa dauka.
Zenbaki errealen irudikapena eta ordenazioa
Zenbaki errealen R multzoa zuzen erreala deritzon lerro baten gainean irudikatzen da. Zenbaki errealek guztiz betetzen dute zuzen hori.
R multzoaren irudikapen grafikoa.
Banatze horretan hauxe esaten da: n eta m bi zenbaki erreal emanik, n m baino handiagoa edo berdin da (n ³ m) baldin eta n - m zenbaki erreal positiboa edo zeroa bada. Horri jarraiki, zenbaki errealen multzoa ordenatua da.
Zuzen errealeko puntuak etengabe (saltorik gabe) taldekatzeak (edo zenbakiak R multzoan) tarteak du izena. Zuzen errealean defini daitezkeen tarte ugariak honako taula honen arabera denotatzen dira.
| Izena | Ikurra | Esanahia |
|---|---|---|
| Tarte irekia | (n, m) edo ]n,m[ | {x|n£x£m} n-tik m-ra bitarteko zenbakiak |
| Tarte itxia | [n, m] | {x|n£x£m} n-tik m-ra bitarteko zenbakiak, hauek biok barne |
| Tarte erdirekiak | ]n, m] | {x|n£x<m} ezker aldetik irekia eta eskuin aldetik itxia |
| ]n, m) | {x|n£x<m} ezker aldetik itxia eta eskuin aldetik irekia | |
| Bestelako tarteak | (-¥, m) | {x|x<m} baino txikiagoak diren zenbakiak |
| (-¥, m] | {x|x£m} baino txikiagoak edo berdinak diren zenbakiak | |
| (n, ¥) | {x|x>n} baino handiagoak diren zenbakiak | |
| [n, ¥) | {x|x³n} baino handiagoak edo berdinak diren zenbakiak |
Zenbaki konplexuak
Ekuazio algebraiko koadratikoak (bigarren mailakoak) edo goragoko ordenakoak ebaztean, zenbaki negatiboen errotzaileak dauzkaten kasuak agertzen dira sarritan soluzioetan. Erroketa eragiketa horrek ematen duen emaitza ez dagokio zenbaki errealen multzoari (R multzoan ez dago zenbaki negatiboen errorik).
Zenbaki negatiboen erro-adierazpenek zenbaki irudikariak dute izena, errealetatik kanpoko beste multzo bat osatzen dutenak.
Horrela, zenbaki errealak eta irudikariak bere baitan biltzen zituen beste multzo berri bat sortu zen, C zenbaki konplexuen multzoa izena hartu zuena, hain zuzen ere. Horren arabera, zenbaki-multzoen artean honako parekotasun-erlazio hauek ezar daitezke:
N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.Zenbaki konplexuen adierazpena
Funtsean, zenbaki konplexu bat atal erreal eta irudikari batez osaturik dago. XVIII. mendean, Leonhard Euler-ek honela definitu zuen zenbaki irudikarien unitatea: zenbaki bat, i2 = -1 izanez, hau da, i definitzen da -1 zenbakiaren erro karratu gisa.
Horren arabera, zenbaki konplexu baten notazio orokorra (a + bi) da, a bere atal erreala eta b bere atal irudikaria izanez. Notazio hori zenbakiaren era binomiko gisa ezagutzen da.
(a, b) elementu bikotea izanda, zenbaki konplexu oro koordenada cartesiarren ardatz batean irudika daiteke, non a abzisa eta b ordenatua izango bailirateke. Horretariko irudikapenari era cartesiarra esaten zaio.
Zenbaki konplexuen hirugarren irudikapen bat era polarra da. Zenbakiaren irudikapen cartesiarra bektoretzat hartuta, berau bi kantitateren bitartez gera liteke erabat definiturik
- Bere modulua, m, ondokoaren baliokidea:
- Bere argumentua, j angelua dena, hauxe izanez:
Era polarreko irudikapena mj gisa adierazten da. Adibidez, (1+i) zenbakiaren era polarra (Ö2)45º da.
Zenbaki konplexu baten irudikapen cartesiarra.
Informazio gehiago
Zuzen errealaren gaineko tarteen irudikapen grafikoa
Zenbaki-multzoen arteko erlazioak.
Leonhard Euler
Leonhard Euler (1707- 1783), matematikari suitzarra, ospe eta eragin handikoa. Bere bizitzan gai zientifiko ugariri buruzko zazpiehun tratatutik gora idatzi zuen. Berari zor zaio zenbaki irudikarien unitate gisari ikurra asmatzea.
