Ezezagun bi baino gehiago dituzten ekuazio linealen ebazpena
Ekuazio lineal sistema mailakatuak
Bi ezezagun baino gehiagoko sistema karratuak (ezezagun beste ekuazio dituztenak) ebazteko prozedurarik errazenetariko bat forma mailakatua izenekoan oinarritzen da. Teknika hori ekuazio-sistema forma mailakatua duen beste sistema baliokide bat bihurtzean datza, edozein metodo algebraiko arrunten bidez (ordezpena, berdinketa edo laburketaren bidez).
Gaussen metodoa
Hiru ezezagunetako sistema karratuak ebaztean, Gaussen metodoa izeneko metodo mailakatua erabiltzen da, laburketa-metodoa (6 gaia ikusi) orokortzean datzana. Beste ebazpen batzuetan aplikagarria den metodo horren izena metodoaren asmatzailearena da, Alemaniako Carl Friedrich Gauss matematikaria (1777-1855).
Gaussen metodoaren arabera, jatorrizko sistema beste batzuk bihurtzen da, sistema baliokidea izan arte, ondoko elementu hauekin:
- Lehengo ekuazioa: x, y, z hiru ezezagunak dituena.
- Bigarren ekuazioa: y, z bi ezezagunak dituena.
- Hirugarren ekuazioa: z ezezaguna duena.
Hirugarren ekuazioa ebatzi behar da z lortzeko; emaitza ordezkatzen da bigarrenean y lortzeko; eta, sistema osoa ebazteko, y eta z ordezkatzen dira lehenengoan.
Hiru ezezagun dituzten hiru ekuazio-sistema baten ebazteko adibidea (Gaussen metodoa erabiliz).
Sistema lineal homogeneoak
Ekuazio lineal-sistema homogeneoa da horren ekuazio guztien termino askeak nuluak direnean. Hiru ekuaziotarako sistema lineal homogeneo baten adierazpide orokorra honako hau da:
Sistema horiek bateragarriak dira, x1 = x2 = x3 = 0. ekuaziorako soluzio nabaria baitute. Hala eta guztiz ere, sistemaren sustrai interesgarriek (izanez gero) soluzio propio izena dute; beraz x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3 soluzio propioak balira x1 = ls1, x2 = ls2, x3 = ls3, ere izango lirateke, " Î R, l ¹ 0 izanik.
Sistema lineal homogeneoek soluzio propioak Gaussen metodoa aplikatuz edo sistemaren matrize adierazgarrien bidez (18 gaia ikusi).Parametro baten menpeko sistemak
Ekuazio lineal-sistema baten barruko ekuazio bateko koefizienteren edo termino askeren bat parametroa denean, sistemak parametro baten menpeko izena hartzen du.
Parametro baten menpeko hiru ekuaziotako sistema karratuak ebatzi daitezke Gaussen metodoa aplikatuz, adibidean ikusten den legez. Parametroak hartutako baloreen arabera, sistema bateragarri mugatua edo mugagabea izan daiteke, edota bateraezina ere (sistemaren diskusioa).
Parametro baten menpeko hiru ekuazioren sistema karratuaren ebazpen eredua.
Sistema mailakatua
Sistema mailakatuan, diagonal nagusiaren azpian dauden koefiziente guztiak 0 dira. Lau ezezagunetako lau ekuazio-sistema, forma mailakatuan:
Ebazpen grafikoa
Hiru ezezagun dituen ekuazio lineal batek, ax + by + cz = d bezala adierazirik, badauka plano bat espazioan. Horrenbestez, hiru ezezagunetako hiru ekuazio-sistema geometrikoki azter daiteke espazioan hiru planoko multzo bat bezala. Sistemaren soluzioak, izanez gero, hiru plano horietan komunak diren espazioko puntu guztiei egokituko litzaizkieken.
Algebrista italiarrak
Europako Errenazimendu artistikoa Italian jaio eta hazi zen. Ope kulturalako garai horretan, matematikaren ospe handia ere egon zen Italian, ekuazioak ebaztearekin erlazionatutako garapen aljebraikoak ikastean. Aljebrista italiarren artean, garrantzitsuenetariko batzuk Tartaglia, Girolamo Cardano, Lodovico Ferrari eta Rafael Bombell izan ziren.
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) alemaniarra historiako matematikaririk garrantzitsuenetariko bat izan zen. Matematika fisikako arlo askotan aplikatzen, batez ere, egin zuen lan, eta arlo teorikoan eta praktikoan kontribuzio ugari egin zituen: minimo karratuen metodoa, ekuazio anizkoitzak ebaztea bere izena duen metodo mailakatua erabiliz, aritmetikaren funtsezko teoremaren enuntziatua eta abar.
