ARTIKULUAK

• Matematika: oinarriak
• Determinanteak eta matrizeak
  • Matrizeak
  • Ekuazio linealen eta matrize- sistemak
  • Determinatzaileak
  • Determinatzaileen propietateak
  • Ekuazioen ebazpena matrizeen bidez
  • Rouché-Frobeniusen teorema
  • Programazio lineala
  • Simplex metodoa eta garraioaren problema
• Trigonometria
• Funtzioak, deribatuak eta integralak
• Estatistika

GEHIAGO

Blogak

• Raul Ibañez - Matematika

Matrizeak

Matrizeei buruzko kontzeptu orokorrak

Funtsean, matrizea da errenkadetako eta zutabetako taula bat bezala ordenatzen den zenbaki- edo adierazpen-taldea. Errenkaden edo zutabeen gurutzagune bakoitza matrizearen elementua da, eta zenbaki bat edo adierazpen bat badauka.

Matrizeak honela adierazten dira oro har:

Era generikoan, matrizearen elementuak a_ij ikurrarekin adierazten dira (i dagoen errenkadaren zenbakia da, eta, j, zutabearena). Matrizeak, bestalde, A = (a_ij), ikurrarekin adierazten dira (i = 1, 2, 3, ?, m; eta j = 1, 2, 3, ?, n).

Esan ohi da m errenkadek eta n zutabek osatutako matrize batek m x n ordena edo dimentsioa duela. Ordena bereko bi matrizeak berdinak dira, leku berean dauden bi elementuak, binakako partidan, berdinak direnean.

Matrize motak

Oro har, matrize batek m errenkada eta n zutabe ditu, m ¹ n izatean. Kasu horretan, matrizea errektangularra da. Beste alde batetik, errenkada- eta zutabe-kopuruak berdinak direnean, matrizea karratua da, n x n dimentsioduna; kasu horretan, a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nn azpindizetako matrizearen elementuak matrizearen diagonal nagusia deritzonean daude. Garrantzia hartzen du diagonal horrek determinatzaileak ebaztean (16 gaia ikusi).

Matrize karratu batek triangeluarra izena du diagonal nagusiaren azpitik edo gainetik dauden elementu guztiak nuluak direnean.

Matrize bat diagonala da elementu guztiak, diagonal nagusikoak izan ezik, zero direnean.

Matrizeen teorian dagoen beste kontzeptu garrantzitsu bat matrize iraulia da. m x n ordenako A matrize bat hartuta, horren iraulia A^t-k emandakoa, n x m dimentsioko matrizea da; azken horretan, lehenengo matrizearen errenkadak zutabeen ordez ipini dira, eta, zutabeak, errenkaden ordez.

Matrizeen batuketa

Ordena edo dimentsio bera duten bi matrize batzean, beste matrize bat sortzen da; horren elementuak (batugaien betebeharra egiten dutenak) matrize bien errenkada eta zutabe bereko elementuen batuketa bezala kalkulatzen dira.

m x n ordenako A = (a_ij) eta B = (b_ij), matrizeak hartuta i = 1, 2, 3, ..., m eta j = 1, 2, 3, ..., n direnean, bien batuketatik sortutako matrizea horrela lortuko litzateke:

Matrizeen batuketaren propietateak

Propietatea	Adierazpena eta esanahia
Konmutatiboa	A + B = B + A.
Asoziatiboa	A + (B + C) = (A + B) + C.
Elementu neutroa	A + 0 = 0 + A = A, 0 matrize nulua dela, elementu guztiak 0 dituztena, Aren ordena bera eduki arren.
Elementu simetrikoa	A + (-A) = (-A) + A = 0, (-A) matrizea A matrizearen aurkakoa da, eta 0 Aren dimentsiorako matrize nulua da.

Matrizeekin egindako biderketa eta potentziak

Matrizeen aljebran, batuketaz gain, bi eragiketa mota daude:

• Zenbaki baten eta matrize baten biderkadura beste matrize bat da; matrize horren elementu bakoitza jatorrizko matrizearena zenbaki konstantearengatik biderkatua da.
• Bi matrizeen biderkadura posible da bi ordena «kateaturik»; daudenean bakarrik; hau da, m x n ordenako A = (a_ij) matrize bat beste matrize B = (b_ij) batengatik biderka daiteke, azken horren dimentsioa n x p izanez gero; horrela, sortzen den matrizeak m x p berdineko ordena dauka. Sortutako C = (c_ij) matrizea kalkulatzen da c_ij termino bakoitza Aren i errenkadako elementuen eta Bren j zutabeko elementuen biderkaduren batuketa ordenatua izateko: Aren i errenkadako lehenengo elementua bider Bren j zutabeko lehenengo elementua; gehi i errenkadako bigarrena bider j zutabeko bigarrena eta abar.

Biderkaduraren kontzeptuaren zabalkuntza beza, matrize baten potentzia enegarrena potentziaren eta n bider beraren biderkatzea da. Matrize bat beraren biderkatzeko, karratua izan behar da. Hots: