Ekuazio linealen eta matrize- sistemak
Unitate-matrizea eta alderantzizko matrizea
n x n (edo bakarrik n) ordenako A matrize karratua aintzat hartuta, n dimentsio berarekin, 1 balioa duen diagonal nagusian daudenak izan ezik elementu nuluek osatutakoak unitate-matrize I izena du. Hau da: A × I = I × A = A.
n ordenako A matrize horretarako, esaten da n ordenakoa ere den A-1 alderantzizko matrizea ere badagoela, bien biderkadura unitate- matrizea denean: A × A-1 = A-1 × A = I.
Alderantzizkoa duen matrizeak alderanzkarri edo erregularra izena du, baina alderantzizkorik ez duenean, matrize singularra izena hartzen du.
Emandako baten alderantzizko matrizea kalkulatzeko, A × X = I matrizeen biderkadurak planteatutako ekuazioen ebazpenari jo dakioke, Aren eta Iren koefizienteak ezagunak eta Xenak ezezagunei dagozkienak direnean. Bestalde, laburketa-metodoa edo gaussiarra izenekoa ere erabil daiteke, ondoko eskema honi jarraituz:
- i, j = 1, 2, ..., n denean, A = (aij), unitate-matrizea hartuta, horren matrize zabaldua (A | I) sortuko da lehenengo.
- Gero, oinarrizko eragiketak aplikatuko dira matrizearen errenkaden gainean, A unitate-matrizera txikitu arte. Bilakaera berberak egingo dira Ien. Sortutako matrize berria A-1 izango da.
- Matrize zabalduei aplika dakizkien oinarrizko eragiketak ondoko hauek dira:
- Errenkada bat zero ez den zenbaki batengatik biderkatzea.
- Errenkada bateko elementuak eta beste batekoen multiploa gehitzea.
- Errenkadak ordezkatzea.
Ekuazio linealen sistema baten matrizeko adierazpena
Edozein ekuazio linealen sistema matrizeen bidez idatzi ahal da, ondoko era honetan:
A koefizienteen matrizea, X ezezagunen matrizea eta B termino askeen matrizea direnean.
Horrela, esate baterako, ekuazio linealen sistema hau:
Sistema bat ebaztea alderantzizko matrizearen bidez
Matrizeen bidez ekuazio lineal sistemak ebazteko prozedura azkarra alderantzizko matrizearen metodoa da. Teknika hori ezkerretik ekuazio-sistemaren matrizeko adierazpenaren elementu biak eta koefizienteenaren alderantzizko matrizea (badago) biderkatzean datza. Honela:
Sistema bat ebaztea ezabaketa gaussiarraren bidez
Matrizeen bidez ekuazio linealen sistemak ebazteko prozedurarik erabiliena ezabaketa gaussiarraren metodoa da, ondoko urrats hauek dituena:
- Sistemaren matrize zabaldua osatuko da termino askeen matrizeko elementuak dituen beste zutabe bat koefizienteenari gehituz, eskuinetik.
- Oinarrizko eragiketak aplikatuko dira matrize zabaldu horren gainean, matrizearen diagonal nagusiaren azpitik termino guztiak nuluak izan arte.
- Orduan, arartegabeko ebazpeneko ekuazio-sistema bateragarria lortuko da.
- Metodo horri esker, sistemaren eztabaida azkarra egin daiteke:
- Matrize zabalduaren bilakaeratik sortutako matrizearen azken errenkadak 0x + 0y + cz = k (k ¹ 0 denean) motako ekuazioa sortzen badu, sistema bateragarri determinatua (emaitza bakarrekoa) izango da.
- Azken errenkada hori 0x + 0y + 0z = k motako ekuazio bati dagokionean, sistema bateraezina (emaitzarik gabekoa) izango da.
- Azken errenkada hori 0x + 0y + 0z = 0 motako ekuazioa bada, sistema bateragarri mugagabea (emaitza infinituekin) izango da.
Ekuazio linealen sistema bat ebaztearen adibidea, ezabaketa gaussiarraren metodoa erabiliz:
Matrize alderanzkarrien
A matrize batek alderantzizkoa badauka, ondoko propietate hauek bete egingo dira:
- Aren alderantzizko matrizea bakarra da.
- Alderantzizkoaren alderantzizkoa matrizea bera da:
(A-1)-1 = A . - Matrizeen biderkaduraren alderantzizkoa bigarren matrizearen alderantzizkoaren eta lehenengoaren alderantzizkoaren biderkadura da:
(AB)-1 = B-1 × A-1 .
Oinarrrizko matrizeak
Oinarrizko eragiketen bidez sortutako matrize baten zabalduaren bilakaerak sortu du oinarrizko matrizearen kontzeptua. Oinarrizko matrize bat da horren errenkaden gainean egindako oinarrizko eragiketa bakar bat duen unitate matrize batetik sor daitekeen matrize karratua.
Programazio lineala
Programazio lineala izena duen programa egiteko teknikaren oinarria bektoreen, matrizeen eta bektoreko espazioen teoria da. Teknika hori zientzia ekonomikoetako arazo matematikoak ebazteko W.W. Leontiefek garatutako lanetatik sortu zen.
Charles Lutwidge Dodgson
Charles Lutwidge Dodgson Ingalaterrako apaiza (1832-1898), Lewis Carroll bezala askoz ezagunagoa, Alizia lurralde harrigarrian eta Ispiluan barrena liburuen (literatura unibertsaleko bi klasiko) idazlea izan zen. Beste alde batetik, matematikaria ere izan zen, eta ekuazio lineal sistemak, matrizeak eta determinatzaileak aztertzen ospetsua izan zen.
