MATEMATIKA

Determinatzaileak

Determinatzaileak ekuazio linealetako sistemak ebazteko oro har erabiltzen diren tresna boteretsuak dira. Historiari begira, matrizeak baino lehenagokoak diren arren, gaur egun azken horien bateragarriak diren entitate matematiko bezala erabiltzen dira.

Determinatzaileak eta matrizeak

A matrize karratu bati dagokion determinatzailea matrizea osatzen duten elementuekin egindako zenbait produktuen batuketa da.

n ordenako A matrize karratu bat hartuta, horren determinatzaileak |A| edo det (A) ikurra hartzen du. Determinatzaile horren balorearen kalkulua matrizea osatzen duten elementuekin egiten da.

2 ordenako determinatzaileak

Determinatzailerik errazena 2 ordenako matrize karratu bati dagokiona da. Orduan, determinatzailea zenbaki erreala da, ondoko faktoreen batuketa hau bezala lortutakoa:

Sarrus-en erregela

A jatorrizko matrizea 3 ordenakoa denean, Sarrus-en erregela erabiltzen da horren determinatzailea kalkulatzeko. Determinatzaile hori sei terminoen batuketatik lortzen da:

  • Hiru positibo, hiru faktoretako biderkadura hauek osatuta: diagonal nagusiko hiru elementuak eta diagonal horren perpendikularrak diren bi errenkadetako elementuak, aurkako bertizearengatik biderkatuta.
  • Beste hiru negatibo, hiru faktoretako biderkadurek ere osaturik: bigarren mailako diagonaleko hiru elementuak eta horren paraleloak diren errenkadetakoak, aurkako bertizearengatik biderkatuta.

Hots, A matrize bat hartuta:

Sarrus-en erregelaren arabera, beraz, adierazpen horrek emango du determinatzailearen garapena:

Minor osagarriak

n ordenako matrize karratu bat hartuta, jatorrizko matrizeko (aij) elementu bat dagoen errenkada eta zutabea kentzean sortzen diren (n - 1) ordenako matrize bakoitzak minor osagarria izena du.

Esate baterako, 3 ordenako matrize karraturako:

beste batzuen artean, ondoko minor osagarri hauek defini daitezke:

Adjuntuak eta matrize adjuntua

n ordenako A matrize karratu baterako, aij elementuaren Aij adjuntua da elementu horren minor osagarriaren balorea (-1)rengatik biderkatua eta i gehi jra berretua. Hau da:

A matrize karratua hartuta, A* edo Adj (A) izeneko horren matrize adjuntuan, A-ren elementuak horien adjuntuek ordezkaturik daude:

Determinatzaile baten garapena

Determinatzaile baten balorea horren matrizeko elementuen adjuntuetatik lor daiteke. Horrela, A matrizea hartuta, horren |A| determinatzailearen balorea da horren errenkadetako edo zutabeetako bateko elementu bakoitza elementu horien adjuntuengatik biderkaduren batuketa. Esate baterako:

Kasu horretan, determinatzailea lehenengo errenkadatik garatu da. Oro har, determinatzaile bat errenkadetatik edo zutabeetatik garatu ahal da.

Garapen horri esker, 3 baino handiagoko ordenako matrize karratuen determinatzailearen balorea kalkula daiteke, ordena hori hurrenez hurren murriztuz: adjuntuen erregelarekin, 3raino, eta, gero, Sarrus-en erregela aplikatuz.

Arthur Cayley

Arthur Cayley ingelesa (1821-1895) , historiako matematikari ugarienetariko bat, gaur egun determinatzaileak definitzean eta erabiltzean erabiltzen den idazkeraren sortzailea izan zen.

 

Alderantzizko matrizea

Determinatzaileak erabiliz, alderantzizko matrizeak kalkulatzeko metodo laburtua definitu ahal da. A matrize alderanzkarri bat hartuta, A-1 bere alderantzizko matrizea (A*)t matrize adjuntuaren iraulia da, Aren determinatzaileak zatitua.

 

Pierre-Simon de Laplace

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) frantziarra, mekanika fisikoaren deskripzioetarako erabilgarriak diren garapen matematiko garrantzitsuen sortzailea, determinatzaile bat adjuntuetatik garatu zuen lehenengoa ere izan zen.