MATEMATIKA

Ekuazioen ebazpena matrizeen bidez

XVIII. eta XIX. mendeetan, matrizeen teorian oinarritutako lehen mailako ekuazio-sistemak ebazteko hainbat metodo garatu ziren. Antzinatik erabilitako prozedura grafikoei eta aljebraikoei batu zitzaizkien Gabriel Cramer-ek eta Eugéne Rouché-k ia mende bat geroago proposatu zuten metodo garatuagoak.

Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak

Lehen mailako ekuazio linealen sistemak ebazteko, hiru prozedura-mota hauek erabiltzen dira oro har:

  • Metodo aljebraikoak, ordezpen-, berdinketa- edo laburketa-metodotzat hartuta (6. gaia ikusi).
  • Metodo grafikoak, sistemako ekuazio bakoitza plano bati dagokio, sistema hiru ezezagunetakoa izanez gero; horrela, sistemaren emaitzak eta plano guztien ebaki-puntuak parekatuko dira (6. gaia ikusi).
  • Matrize-metodoak, matrizeen teoria erabiltzean oinarriturik.

Matrize-metodoak

Ekuazio linealetako sistema bat honela adieraz daiteke, matrizeen bidez:

C × X = B

C koefizienteen matrizea da, X ezezagunena eta B termino askeena (15 gaia ikusi).

Matrize-metodoak erabiliz ekuazio linealen sistemak ebaztean, bi prozedura alternatiboak erabili ohi dira: alderantzizko matrizea eta Gauss-en ebazpen metodoa.

Alderantzizko matrize-metodoa (15 gaia ikusi) C-ren alderantzizko matrizea aurkitzean datza, ezezagunen matrizea lortzeko, C-1 × B eragiketa eginez.

X = C-1 × B

Beste alde batetik, Gauss-en ebazpen-metodoa (15 gaia ikusi) sistemako matrize zabalduaren baliokidea den matrize triangeluarra lortzean datza.

Interpretazio geometrikoa

ax + by + cz + d = 0 motako ekuazioa, geometrikoki hartuta, plano baten ekuaziotzat har daitekeela kontuan izanez gero, hiru ekuazio linealen sistema karratu bat eta espazio kartesiarrako hiru plano baliokideak dira. Horrela, sistemaren emaitzak hiru planoen arteko konfluentzia puntuak dira.

Bi planoren posizio erlatiboen azterketa geometrikoan, hiru egoera ager daitezke:

  • Planoak zuzen komun batean elkar ebakiz gero, ebakitzaileak direla esaten da.
  • Euren puntu guztiak komunean dituztenean, kointzidenteak dira.
  • Elkar ebaki ezean, paraleloak dira.

Espazioko planoen azterketa geometrikoa interesgarria da ekuazio linealen sistemen diskuziorako.

Cramer-en erregela

Esaten da ekuazio linealen sistema bat Cramer-ena dela ondoko baldintza hauek betetzen dituenean:

  • Sistema karratua da, ekuazio eta ezezagun kopuru berdinekin.
  • Elkartutako koefizienteen matrizearen determinatzailea ez da zero.

Horren ondorioz, Cramer-en sistema bat bateragarri mugatua izaten da beti (emaitza bakarra du).

Ekuazio linealen sistemaren xi ezezaguna kalkulatzeko, koefizienteen matrizearen i zutabea termino askeengatik ordezkatuko da, sortutako matrizearen determinatzailea lortu eta koefizienteen matrizearen determinatzailearengatik zatitu egingo da. Horrenbestez, Cramer-en sistema baten ebazpena Xi ezezagun bakoitza aurkituz lortuko da, ondoko formula honen arabera:

ezezagunari dagokion koefizienteen matrizearen zutabea termino askeenaren ordezkatzetik sortutako matrizea Ci da.

Sistema baten ebazpena, Cramer-en erregela erabiliz.

Alderantzizko matrizea

Emandako (esate baterako, 3 ordenako) A matrize baten alderantzizko matrizea lortzeko, ondoko formula hau erabiltzen da:

Aij matrizearen adjuntua da, i errenkadak eta j zutabeak garatua.

 

Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (1704-1752), Suitzako matematikaria, geometria analitikoari eta planeten orbiten inklinazioari buruzko lanengatik ospetsua izan zen. Berari esker, bere izena duen erregela erabiltzen da determinatzaileen bidez ekuazio linealen sistemak ebazteko.

 

Bi planoren posizio erlatiboa

Plano ebakitzaileak, zuzen batean ebakitzen direnak.

Plano kointzidenteak, puntu guztiak komunak dituztenak.

Plano paraleloak, puntu komunik ez dutenak.