MATEMATIKA

Rouché-Frobeniusen teorema

Eugéne Rouché frantsesari eta Georg Ferdinand Fröbenius alemaniarrari esker, teoremaren enuntziatuaren bitartez, lehenengo graduko edozein ekuazio sistema ebatzi daiteke, soluzioa daukala edo ez daukala. Funtsean, sistemaren matrize adierazgarrien heinaren analisian oinarritzen da teorema hau.

Rouché-Fröbeniusen teoremaren enuntziatua

n ezezagunak dauzkan m ekuazio linealen sistema bat emanik, adierazpen orokorra hauxe izango litzatekeena:

beraren C koefiziente-matrizea eta matrize zabaldua honela defini daitezke:

Rouché-Fröbeniusen teoremaren arabera, beharrezko baldintza eta nahikoa, n ezezagunekiko m ekuazio linealen sistema bat bateragarria izateko (soluzioa izan dezan) hauxe da: koefizienteen matrizearen heina matrize zabalduaren heinaren berdina izatea.

Sistema linealen eztabaida eta sailkapena

Rouché-Fröbenius teorema aplikatzearen ondorioz, n ezezagunekiko m ekuazio linealen sistemak nolabaiteko arintasunez eztabaidatu eta ebatz daitezke. Horrela, ondoko hau dugu:

  • Koefizienteen eta zabalduaren matrizeen heinak berdinak izanez gero, sistema bateragarria da (soluzioa dauka). Ezezagun kopurua aipatutako heinaren berdina bada, zehaztua izango da (soluzio bat), eta ezezagun kopurua heina baino handiago bada, sistema zehaztugabea izango da (soluzio infinituak).
  • Koefizienteen eta zabalduaren matrizeen heinak ezberdinak izanez gero, sistema bateraezina da (ez dauka soluziorik)

Rouché-Fröbeniusen teroremaren arabera, sistema baten eztabaida.

Rouché-Fröbeniusen teoremaren araberako ebazpena

Ekuazio linealen sistema bat ebazteko Rouché- Fröbeniusen teoreman oinarriturik, honela egin beharra dago:

  • Sistema eztabaidatzen da, koefiziente- eta matrize zabalduaren heinak aztertuta.
  • Sistema bateragarri zehaztua bada, heinak eman duen koefizienteen matrizearen txikiena hartuko da.
  • Gertatzen den sistema baliokidea Cramerren arauaren bitartez ebatziko da. (18. gaia ikusi).

Sistema lineal homogeneoak

Sistema linealek non termino independenteak beti zero izaten baitira homogeneoak dute izena. Sistema homogeneo batek beti dauka soluzio nabaria edo sasi-soluzioa, ezezagun guztiak zeroaren berdinak direlako. Hala eta guztiz ere, interes-erroak, sistemaren analisian, gainerako guztiak dira, baldin eta berezko soluzioak delakoak izango balira.

Sistema horiei Rouché-Fröbeniusen teorema aplikatuz gero, honako hau lortuko da:

  • Matrizeen heina ezezagunen kopuruaren berdina bada, sistema bateragarri zehaztua da eta, beraz, beraren soluzio bakarra nabaria da.
  • Ezezagunen kopurua heina baino handiagoa bada, sistema bateragarri zehaztugabea da eta soluzio infinituak dauzka.

Sistema lineal homogeneoa ezin izan daiteke sekula bateraezina.

Sistema lineal homogeneo baten eztabaida, Rouché-Fröbeniusen teoremaren arabera.

Parametroen mendeko sistemak

Parametro baten edo biren menpe dauden ekuazio sistema batean ez dago ebazteko metodo finkorik. Hala ere, beraien soluzioak errazago eztabaida daitezke Rouché-Fröbeniusen teoremaren arabera.

Eskuarki, koefizienteen eta matrize zabalduaren determinanteak kalkulatutakoan, parametroen mendekotasuna lortzen da, halako moldez non beraren balizko baloreak aztertzetik sistema bateragarria (zehaztua edo zehaztugabea) ala bateraezina den ondorioztatzen baita.

Matrize-metodoaren kontzeptuak

Matrizeen bidezko ekuazio linealen sistema ebazteko honako kontzeptu hauek erabiltzen dira:

  • Koefizienteen matrizea, C izendatua, ezezagunak biderkatzen duten faktoreak eratzen dutenak da (m x n ordena).
  • Ezezagunen matrizea zutabe-matrizea (n x 1 ordena) da, sistemaren ezezagunen erlazioarekin.
  • Termino independenteen matrizea beste zutabe-matrize bat da (m x 1 ordena) da, ezezagunik ez daukaten terminoekin.
  • Matrize zabaldua koefizienteen matrizeaz eratzen dena da, termino independenteen zutabea eskuinaldean eransten zaiona: m x (n + 1).
 

Rouché-Fröbeniusen teorema eta Cramerren araua

Ekuazio linealen sistemak ebazteko Cramerren araua honako honetara murrizten da: zeroa ez bezalako koefizienteen matrizearen determinantea daukaten sistema karratuetara (ekuazio eta ezezagun kopuruak berdinak dira). Rouché-Fröbeniusen teoremak daukan alde ona sistema guztietara aplika daitekeela da, inolako murrizketarik gabe.

 

Askatasun-mailak

Sistema bateragarri zehaztugabe batean, ezezagun kopuruaren eta matrizeen heinaren arteko aldeak sistemaren askatasun-maila du izena. Adibidez, alde hori 2 izango balitz, sistemak edozein hautazko balio har lezaketen bi ezezagun edukiko lituzke. Horrexegatik, ezezagun askeak edo parametroak deitzen dira.

 

Rouché

Eugčne Rouché (1832- 1910) matematikari frantsesa oso da ezaguna beraren izena daraman teoremaren formulazioagatik, ekuazio linealen sistemak ebazteko.