MATEMATIKA

Triangeluen ebazpena

Triangeluaren ebazpena, bere albo eta angelu guztien balorea zehaztea esan nahi du. Gaur egun oraindik aplikatzen diren triangeluen ebazpenerako oinarrizko teknikak, kristautasunaren aurreko jatorria dute eta zibilizazio klasikoetako (Txina, Mesopotamia, Egipto, Grezia) matematikari eta filosofoek ezagutu zituzten.

Triangelu angeluzuzenak

Triangelu angeluzuzena erabat ebazteko, nahikoa da albo bat eta angelu bat ezagutzea, edo bestela, bi albo. Triangelu angeluzuzenen ebazpenean erabilitako elementuak hauek dira:

Triangelu angeluzuzena.

  • Zuzenak ez diren bi angeluen batura 90º denaren printzipioa.
  • Pitágoras-en teorema.
  • Ondorengo arrazoi trigonometrikoak:

    sin B = kos C = b/a,kos B = sin C = c/a,tg B = b/c, tg C = c/b.

Angeluzuzenekoa ez den triangeluaren ebazpena

Edozein triangeluren erabateko ebazpenerako, nahikoa da bere hiru datu ezagutzea, hiru angelu diren kasuan ezik. Hauetatik abiatuz, bere albo eta angeluak kalkulatzeko ondorengo tresnak erabiltzen dira:

  • Hiru angeluen batura 180º denaren printzipioa.
  • Sinuaren teorema (24. gaia ikusi).
  • Kosinuaren teorema (24. gaia ikusi).
  • Triangeluaren area kalkulatzeko formulak:

    non b oinarria den; h, altuera; p, triangeluaren perimetro erdia; r, inskribaturiko zirkunferentziaren erradioa eta a, b, c alboak.
  • Tangentearen teorema, horrela espresatzen da:

Triangeluen arteko antzekotasuna

Bi triangelu antzerakoak dira, bere angeluak berdinak eta bere alboak elkarren artean proportzionalak direnean. Bi triangeluetako korrespondentzia duten bi alboen arteko proportzionaltasun koefizientea antzekotasun arrazoia izendatzen da.

Antzerako triangeluek ondorengo bi propietateak betetzen dituzte:

  • Bi triangeluen korrespondentzia daukaten bi altueren arteko arrazoia, antzekotasun arrazoiaren berdina da.
  • Antzerako bi triangeluen areen arteko arrazoia, antzekotasun arrazoiaren ber bia da.

Angeluzuzeneko triangeluen teoremak

Triangeluen antzerakotasunaren printzipioen aplikatzeak, bere elementuen artean dauden erlazio metrikoak ondorioztatzea zilegi egiten du. Erlazio hauek, geometria lauaren hainbat oinarrizko teorematan laburbiltzen dira.

  • Altueraren teoremak, angeluzuzeneko triangeluan hipotenusari dagokion altuera, altuera horrek hipotenusa zatikatzen duen segmentuen arteko media proportzionala bezala kalkulatzen da.

  • Katetoaren teoremaren arabera, angeluzuzeneko triangeluan, kateto bakoitzaren balorea, hipotenusa eta beregan katetoak daukan proiekzioaren arteko media proportzionala bezala lortzen da.

  • Pitagoras-en teoremak, hipotenusaren ber bia, katetoen ber bien baturaren berdina da.

Angeluzuzeneko triangeluaren elementuak.

Euclides-en elementuak

Greziar kultura klasikoak ezagututako triangelu eta arrazoi trigonometrikoei buruzko printzipioak, hein batean beste zibilizazioetatik (egiptiarra, babiloniarra) eta hainbat heleniar pentsalariengatik garatutakoak, Euclides (K.a. III-II mendeak) filosofo eta matematikari ospetsuaren Elementos obra itzelean bilduta daude.

 

Tangenteen legea

ABC triangelu plano bat emanez, non a, b, c alboak A, B, C angeluen aurkakoak diren, honako hau betetzen da:

Adierazpen hauek, tangenteen legeak bezala ezagutzen direnak, erabilera ugari dituzte zenbakizko kalkuluan, batez ere logaritmoen erabileran.

 

Pitagorasen teoremaren

Pitagoras-en eskolako ikasleek, Pitagoras-en teorema formulatu zuten, K.a. 550 urte inguruan. Printzipio honek, jadanik txinatar, babiloniar eta egiptiar antzinako zibilizaziotan ezagutzen bazen ere, oraindik kontserbatzen den espresio sinbolikoa hartu zuen Grezia klasikoan eta interpretazio magiko eta misteriotsuak egotzi zitzaizkion. Horrela, bere formulaziotik, zenbaki irrazionalak deiturikoak sortzen dira, pentsaera heleniarrean oihartzun handiak izan zituen kontzeptua alegia.