MATEMATIKA

Funtzio baten limitea

Limitearen ideia intuitiboa, bizitza arruntean dugunarekin bat dator. Limite baten esanahia helburu batera jotzea da, nahiz eta beti lortzen ez den. Matematiken esparruan ideia hau definizio zehatz batean gauzatu da, non infinituki txikia (infinitesimoak) eta infinituki handiaren (infinitua) kontzeptuak bateratzen dira.

Funtzio baten limite kontzeptua

f(x) funtzioak x = a puntuan limite L bat duela esaten da, posible denean f(x) L-ri nahi beste hurbiltzea, x, a-ri mugarik gabe hurbiltzen zaionean, x, a-ren ezberdina izanik. Modu matematikoan horrela izango litzateke:

"a" puntua izanik eta aurreko definizioa kontutan hartuz, bi modu daude "x" "a"-ri hurbiltzeko: x > a baloreetatik (eskumatik) eta x < a (baloreetatik ezkerretik). Hainbat kasutan eskumako limitea (x®a+) eta ezkerreko limitea (x®a-). deitutako balioak lortzen dira batik bat. Definizioz, funtzio baten limitea existitzeko, alboko bi limiteak (eskumatik eta ezkerretik) existitu eta berdinak izan behar dute. Hau da:

Limiteen propietateak

a puntuan limite bat duten f(x) eta g(x) funtzioak emanda, ondorengo propietateak betetzen dira:

  • Bi funtzioen arteko baturaren limitea, funtzio bakoitzaren limiteen batura da.
  • Kenketaren limitea, limiteen arteko kenketa eginez kalkulatzen da.
  • Funtzioen arteko biderketaren limitea, funtzio bakoitzaren limiteen biderketa da.
  • Funtzioen arteko zatiketaren limitea, funtzio bakoitzaren limiteen zatiketa da, izendatzailea zero ez bada.
  • Konstante bat eta funtzio baten arteko biderketaren limitea, konstantearen eta funtzioaren limitearen arteko biderketa da.

Matematiken bidez, propietate hauek horrela adierazten dira:

Asintota bertikalak eta horizontalak

x aldagaia a-rantz doanean f(x) funtzioa modu zehaztu gabean hazten bada, bere limitea infinitua dela esango da (+¥, hazkuntza noranzkoa positiboan bada, eta -¥, hazkuntza noranzkoa negatiboan bada). Hala nola, posiblea da ere funtzio baten limiteak zehaztea x-en balioak +¥ -rantz edo a -¥-rantz jotzen duenean.

Beraz, a puntuan behintzat funtzioaren alboko limiteetariko bat dagoenean eta limite hau +¥ edo -¥ denean, f(x) funtzioak x = a zuzena asintota bertikala duela esan ohi da.

Modu berean, x +¥ -rantz edo -¥ -rantz hurbiltzen bada, eta behintzat funtzio baten limite bat dagoenen eta limite hau b denean, f(x) funtzioak y = b asintota horizontala duela esaten da.

Funtzio bateko asintota horizontalak.

Funtzio bateko asintota bertikalak.

Indeterminazioen ebazpena

Funtzio konplexu baten limitea ebazteko limiteen propietate orokorrak erabiltzen dira. Hala ere, batzuetan ez da nahikoa propietate hauetara jotzea, ebatzi beharreko indeterminazioak agertzen baitira. Funtzioaren limitea funtzioa osatzen duten limiteetatik zuzenki lortzen ez denean, indeterminazio bat dagoela esaten da.

Arruntenak hauek dira:

  • Infinitu zati infinitu (¥/¥): funtzio polinomiko bat bada, zenbakitzailea eta izendatzailea gradurik handieneko terminoagatik zatitzen dira ebazteko; funtzioek errotzaileak dauzkatenean, errotzaileak duen espresioaren konjuratuarekin biderkatzen dira izendatzailea eta zenbakitzailea.
  • Infinito ken infinito (¥ - ¥): funtzioen kenketa bat egiteko, funtzio bat bider bestea egin beharko da zatikizuna lortzeko eta ondorioz, limitea ebatzi. Errotzaileak agertzen badira, errotzaileak duen konjuratuaren espresioarekin biderkatu eta zatituko dira.
  • Zero zati zero (0/0): funtzio polinomio bat bada, zenbakitzailea eta izendatzailea faktorizatuko dira eta lortutako binomio berdinak sinplifikatu egiten dira; errotzaileak dauzkaten funtzioetan, errotzaileak duen konjuratuaren espresioarekin biderkatzen dira zenbakitzailea eta izendatzailea.
  • Zero bider infinitu (0 × ¥): f(x) ® 0 bada eta g(x) ® ¥,f(x) × g (x) adierazpena f(x)/(1/g(x))-gatik ordezkatu daiteke, zein 0/0 motakoa delarik.
  • Bat infinitugatik berretuta (+¥) eta infinitu zerogatik berretuta (¥0): e zenbakiagatik ordezkatzen da ondorengo formularen bitartez:

Funtzio baten limitea eta balioa

Funtzio batek puntu batean limite bat izan dezan ez da nahikoa puntu horretan mugatuta egotea. Gainera gerta daiteke, puntua funtzioaren definizio eremuaren parte izatea baina bere balioa limitearekin alderatuz ezberdinak izatea. Hau da, aldizka:

 

Limitearen bakuntasuna

Puntu batean funtzio batek limite bat duenean (hau da, puntuan eskumatik eta ezkerretik limiteak daudenean eta berdinak direnean) limite hau bakarra da.

 

Infinitesimo kontzeptua

Emandako puntu baten funtzio edo segida baten limitea zero denean infinitesimo deitzen zaio. Honek esan nahi du, puntura hurbiltzean funtzioak deuseztatzera jotzen duela. Analisi matematikoen esparruan infinitesimo kontzeptuak, intuitiboki zerbait infinituki txikitzat hartuz, oso garrantzi handia du.

 

Kalkuluak infinituarekin

Funtzioa osatzen duten limiteetatik zuzenkia ez denean lortzen funtzioaren limitea indeterminazio bat dagoela esaten da.

 

e zenbakia

E zenbakia, baita ere Euler-ren zenbakia deitua, logaritmo naturala edo nepertarren oinarria dena, ondorengo segida baten limitearekin mugatzen da zorrozki: