Funtzioen jarraitasuna
Funtzio baten jarraitasuna
f(x) funtzio bat a puntu batean jarraitua da baldin, eta soilik, ondorengo baldintzak betetzen badira:
- Funtzioa a puntuan existitzen da.
- x a-rantz doanean f(x)-en limitea existitzen da.
- Funtzioaren balioa puntuan eta puntu horretako limitea berdinak dira:
Aurreko baldintzetariko bat betetzen ez denean funtzioa puntuan ez jarraitua edo etena dela esaten da.
Bestalde, (a, b) tartean funtzio bat jarraitua dela esaten da, x puntu guztietan jarraitua denean a < x < b betetzen delarik.
Funtzio jarraitu baten adibidea.
x = 1 puntuan irudiko funtzioa etena da.
Funtzio jarraituak
Funtzioen familia batzuentzat posible da beraien jarraitasuna ezagutzea ondorengo irizpideetan oinarrituta:
- Funtzio polinomikoak jarraituak dira zenbaki errealen multzo osoan.
- Bi funtzioen arteko zatiketatik lortutako funtzio arrazionalak jarraituak dira R multzoaren puntu guztietan, izendatzailea ezeztatzen denetan izan ezik.
- Funtzio potentzialak, esponentzialak eta logaritmikoak jarraituak dira beraien definizio-eremu osoan.
- Sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak jarraituak dira zenbaki errealen multzo guztian zehar (tangente funtzioa, aldiz, etena da p/2-ren multiplo bakoitietan).
Funtzio jarraituen propietateak
Puntu edo tarte baten f(x) eta g(x) funtzio jarraituak emanik, ondorengoa betetzen da:
- Funtzioen arteko batuketa eta kenketa funtzio jarraitu bat da puntu edo tarte horretan.
- Bi funtzioen arteko biderketa funtzio jarraitu bat da puntu edo tarte horretan.
- Funtzioen arteko zatiketak beste funtzio jarraitu bat ematen du puntu edo tarte horretan, izendatzailea ezeztatzen ez denean izan ezik.
- f(x) jarraia bada a-n eta g(x) jarraia bada f(a)-an, orduan (g ° f) (x) funtzio konposaketa jarraia da a puntuan.
Eten saihesgarriak
Edozein funtziok, emandako puntu batean ez baditu betetzen jarraitua izateko derrigorrezkoak diren baldintzak, etena da. Funtzioak puntuan limitea duenean baina funtzioa puntuarentzat mugaturik ez dagoenean, eten saihesgarria dela esaten da.
Saihesgarria den eten puntuan ere jarraitua den funtzio berri bat lortzeko ondorengo moduan jokatu behar da:
- a puntuan funtzioaren limitearen balioa kalkulatzen da.
- Funtzioaren definizio-eremuari a puntua gehitzen zaio eta honako balioa ematen zaio
x=2-an eten saihesgarri bat du f(x) funtzioak. F(x) jarraitua izango litzateke R-en.
Eten saihestezinak
Eten saihestezinak deituriko beste eten-mota batzuk daude, ezin ebatz daitezkeenak. Eten hauek honela sailkatzen dira:
- Jauzidun etenak: alboko limite biak existitzen direnean (eskumatik eta ezkerretik), baina haien artean ezberdinak direnean.
- Eten asintotikoak: limitea infinitu denean.
- Definizio eremuagatik sortutako etenak: limitea existitzen denean eta funtzioa puntuan mugatuta dagoenean, baina balio biak bat ez datozenean.
Modu orokorrean bigarren motako etena deitzen zaio alboko limiteetariko bat mugatua denean eta bestea infinitu denean edo existitzen ez denean.
Georg Cantor
Georg Cantor matematikari alemaniarrak (1845-1918), infinituko matematikari buruzko bere ikasketekin, ikerketa esparruan funtzio matematikoen jarraitasuna zabaldu zuen.
Funtzio jarraituak naturan
Etenen adibideak.
Fenomeno natural fisikoen ikerketak erakutsi duenez, fenomeno hauek deskribatzeko erabiltzen diren funtzio matematiko gehienak izaera jarraitua dute. Dinamika eta elektromagnetismo klasikoaren oinarrizko ekuazioek funtzio jarraituen eredua jarraitzen dute; aldiz, mekanika erlatibista eta fisika kuantikoaren teoria garaikideetan, singulartasun kontzeptua agertzen da, etenaren funtsezko elementua dena eredu fisiko eta kosmologikoen jarraitasunean.
