MATEMATIKA

Funtzio baten deribatua

Funtzio matematiko baten deribatuaren kontzeptua, limiteen kontzeptuarekin erlazionatuta dago modu estuan. Honela, funtzioak duen bat bateko aldakuntza bezala ulertzen da deribatua, hau da, bere eremuko bi puntu oso hurbilen artean. Deribatuak adierazten duen bat bateko ideia dela eta, hainbat erabilera dauzka natur zientzia zein gizarte zientzia gaietan.

Funtzio baten aldakuntza

f(x) funtzioa emanda, x1 eta x2 bere eremuko bi punturen artean, x1 < x2 izanda, funtzio baten aldakuntza defini daiteke f (x2) - f (x1) -ren kenketaren bitartez. Kendura hau puntu horretan positiboa bada funtzioa gorakorra da bertan; negatiboa bada, funtzioa beherakorra da.

Kontzeptu honekin erlazionatuta, f(x) funtzio baten bataz besteko aldakuntza deitzen zaio ondorengo zatiketa honi [a,b] tarte batean:

Zatiketa honen emaitza (a, f (a)) eta (b, f (b)) koordenatu puntuetatik pasatzen den zuzenaren maldaren berdina da.

[a,b] tarteko bi puntuak bata bestetik nahiko hurbil daudenean, aurreko zatiketak bat bateko aldakuntza adierazten du. Kasu honetan, b-ren balioa b = a + h bezala adierazi daiteke, h balore infinituki txiki bat delarik.

Funtzio baten deribatua puntu batean

f(x) funtzioa emanda, eta bere eremuko puntu bat hartuz, ondorengo limitearen bitartez definitzen den adierazpenari puntu horretan funtzioaren deribatua deitzen zaio, f ' (a) izendatzen delarik:

Limite hau ondorengo bi modutan ere adierazi daiteke :

Puntu baten deribatua definitzeko oinarri grafikoa.

Deribatuaren interpretazio geometrikoa

Deribatuaren definizioak zer ikusi handia du bat bateko aldakuntzaren kontzeptuarekin. Hurrengo zatiketa kontutan hartuz:

(a, f (a)) eta (b, f(b)) koordenatuetatik pasatzen den zuzenaren malda adierazten du, b eta a beraien artean oso hurbil badaude, zerorantz jotzen duen h balore baten bitartez aldenduta, logikoa da pentsatzea zuzen hau eta x = a puntutik pasatzen den zuzen ukitzailea ia berdinak direla.

Hau da puntu batean funtzio baten deribatuaren interpretazio geometrikoa: funtzioak puntu horretan ukitzaile duen zuzenaren maldarekin bat dator.

Puntu konkretu batean funtzio baten deribatua, puntu horretan ukitzaile duen zuzenaren maldarekin bat dator.

Alboko deribatuak

Limiteekin gertatzen zen bezala, posible da alboko deribatuen kontzeptua mugatzea funtzio batentzat puntu batean.

Eskuin-deribatua deritzo, eta f ' (a+) bezala izendatzen da, f(x) funtzioa emanda eta bere definizio-eremuko a puntua hartuz, ondorengo limiteari:

Bere aldetik, a puntuan f(x)-en ezker-deribatua deritzo, eta f ' (a-) izendatzen da, hurrengo limiteak definitzen duen adierazpenari:

Funtzio batek eskuin-deribatua eta ezker-deribatua dituenean, eta haien balioak berdinak direnean, deribagarritzat jotzen da.

Gehikuntza-zatidura

Ezberdinak diren eskumako eta ezkerreko deribatuak dauzkan funtzio baten adibidea. Funtzio hau ez da deribagarria x= 1 puntuan.

f(x)-en gehikuntza, aldagai askearen gehikuntzaren balioagatik zatituta adierazteko idazkera arrunta ondorengo hau da:
D f (x) / Dx.

 

Segidako deribatuak

Funtzio bat deribatzean beste funtzio bat lortzen da. Beraz, zenbait kasutan posible da deribatua deribatzea. Honela, y = f(x) funtzio baten bigarren deribatua y" edo f " (x) moduan idatziko da, eta hirugarren deribatua (bigarren deribatuaren deribatua) y"' edo f "' (x) izendatuko da eta era berean gainontzekoak. Askotan deriba daitezkeen segidako deribatuen adibiderik arruntenak sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak dira.