MATEMATIKA

Deribagarritasuna eta jarraipena

Puntu edo bitarte bateko deribagarritasun (deribatua lortzeko aukera) eta jarraipen (funtzioaren balorearekin eginiko bere muga eta bat etortzearen existentzia) nozioek, harreman estua daukate. Orokorrean, deribagarritasun hitzaren kontzeptua selektiboagoa da, beraz, funtzio deribagarri oro nahita ez etengabekoa da, nahiz eta beti ezin den aurkakoa baieztatu.

Deribagarritasuna

Deribatuaren nozioa limitearenarekin lotzen da. Horregatik, deribatu bat egotearen arrazoia, limitea egotearenaren ezberdina izan daiteke (39. gaia ikusi). Funtzio baterako deribatuak eskuinetik eta ezkerretik existitzen direnean, eta biak bat datozenean, funtzioak deribagarria izena du puntu horretan. Hortik ondorioztatzen da bi funtzio ez deribagarri bi mota existitzea.

  • Deribatua definitzen duen limitea existitzen ez denean: adibidez, salto edo etenune baten eraginagatik.
  • Alboko bi deribatuak existitu, baina bat ez datozenean (ertz askoko puntuak): kasu honetan, eskuineko eta ezkerreko zuzen tangenteetako maldak ezberdinak izango direla nabaria da.

m-an eginiko funtzio ez deribagarriaren adibidea, etenunea existitzeagatik, ezta n-an ere, alboetako deribatuak ere bat ez datozelako.

Etengabeko funtzioak eta deribagarriak

Funtzio bateko deribagarritasun eta jarraipen nozioak estuki erlazionatuta daude. Bi kontzeptuak lotzen dituzten printzipioak ondorengoak dira:

  • x = a puntuko, edo (a, b) bitarteko f (x) funtzio deribagarria, puntu edo bitarte horretan nahita ez etengabekoa da.
  • x = a puntuko edo (a, b) bitarteko f (x) etengabeko funtzioa, puntu edo bitarte horretan deribagarria izan daiteke ala ez. Adibidez, ertz askoko puntua daukan funtzio bat beregan etengabekoa da, baina ezin da berdinean deribatu (deribatuak eskuin eta ezker aldetik existitzen dira, baina ezberdinak dira).

Funtzio ez deribagarriaren adibidea X = 1-ean, ertz askoko puntua egoteagatik.

Horrela, deribagarritasun nozioa, jarraipenekoarena baino murritzagoa da, funtzio deribagarri guztiak etengabekoak baitira, baina ez alderantziz.

Funtzio deribatua

Definizio eremu batean f (x) etengabeko eta deribagarria den funtzioa badaukagu, f ' (x) -en bitartez deribatu eta adierazitako funtzio berria definitzea posible da, funtzioaren eremuari dagokion x balore bakoitzari puntu horretan f (x) -en deribatuak lotzen dion bitartean.

Definizio hau jarraipeneko deribatuei aplika dakieke. Funtzio baten deribatua, eremu zehatz baterako definituriko funtzio berria da; horrela, eremu horretan etengabekoa eta deribagarria bada, bere funtzio deribatu berria zehaztea zilegi da, zein aldi berean, f (x) -eko bigarrena izango baita.

f (x) funtzio baten jarraipeneko funtzio deribatuak, ondorengo eran adierazten dira:

  • Lehenengo deribatua: f ' (x).
  • Bigarren deribatua: f " (x).
  • Hirugarren deribatua: f "' (x).
  • Laugarren deribatua : f IV (x), etab.

Tangente eta normal zuzenak

Funtzio bateko deribatuak erabiltzeak, bitarteko erraza eskaintzen du puntu zehatz bateko funtzioaren bihurgune adierazgarriari zuzen tangente eta normaletako ekuazioa zehazteko.

x = a puntuan f (x) funtzio etengabeko eta deribagarria badaukagu, puntuko funtzioari eginiko zuzen tangentearen ekuazioa ondorengo ekuazioaren araberakoa da:

Antzeko eran, puntuko funtzioarekiko zuzen normalak ondorengo ekuazioa jarraitzen du:

Puntu bateko funtzio batekiko zuzen tangente eta normala.

Rolle-ren teorema

[a, b] bitartean etengabeko funtzioa eta (a, b) -an deribagarria badaukagu, f (a) = f (b) gertatzen delarik, f ' (c) = 0 gertatzen den bitarte barneko gutxienez c puntu bat existitzen da, hau da, non zuzen tangentea ardatz horizontalaren paraleloa egiten baita.

Rolle-ren teoremako ilustrazio grafikoa.

 

Balio ertain edo gehikuntza finituaren teorema

Balio ertaineko teoremaren ilustrazio grafikoa.

Funtzio originalaren adierazpen grafikoa eta lehenengo deribatu eta bigarren deribatuaren bere funtzioena.

[a, b] bitarte itxian etengabeko funtzioa eta (a, b) bitarte irekian deribagarria badaukagu, (a, b) aipaturiko bitarteko c puntu bat gutxienez existitzen da, non ondorengoa egiaztatzen baita:

c Î (a, b)-rekin.