MATEMATIKA

Deribazio-arauak (II)

Edozein funtzio deribatzeko, deribazioaren propietateak ezagutu behar dira, eta kalkuluak sinplifikatu ahal izateko, buruz ikasi behar dira funtzio potentzialen, esponentzialen, logaritmikoen eta trigonometrikoen deribatuen formula generikoak.

Funtzio potentzialak, logaritmikoak eta esponentzialak

Funtzio potentzial baten deribatua, f (x) = un (x) formularen bidez adierazten dena, kalkulatzeko honakoa egin behar da: berretzailea bider u (x) funtzioaren deribatua eta bider u (x) funtzioa ber gradu minus bat (n-1).

Funtzio logaritmiko baten deribatuaren formula generikoa f (x) = loga u(x) da, eta hura lortzeko honako eragiketak egin behar dira: u (x) funtzioaren deribatua zati u (x) funtzio bera, eta hori guztia bider e zenbakiko a oinarria duen logaritmoa. Logaritmo nepertarrekin formula hori sinplifikatzen da, loge e = 1delako.

Azkenik, f (x) = au(x ) adierazpen orokorreko funtzio esponentzial bat deribatzeko, honako hau egin behar da: funtzio bera zati berretzailearen deribatua, eta hori guztia bider a oinarria duen logaritmo nepertarra. Azpimarratu behar da y = ex funtzioa berezia dela, haren deribatua funtzio bera baita, alegia: (y' = ex).

Funtzio trigonometrikoak

Funtzio trigonometrikoak deribatzeko zenbait arau erraz ikasi behar da. Funtsean, sinua deribatuz gero kosinua lortuko dugu, eta kosinua deribatuz gero, sinua lortuko dugu, zeinua aldatuta (hori guztia bider arrazoi trigonometrikoaren argumentu gisa adierazten den funtzioaren deribatua). Hau da:

Gainontzeko funtzio trigonometrikoak zehazteko honako arauak aplikatu behar dira: funtzioen zatidura baten deribatuaren arauak (tangeteari, kontagenteari, eta abarri dagokionez) eta katearen araua (alderantzizko funtzio zirkularrei dagokionez).

Funtzio inplizitu baten deribatua

Oso erraza da y 5 f (x) modu esplizituan adierazitako funtzioa deribatzea, deribazio-arauak ezagutuz gero. Aitzitik, deribatu beharreko funtzioa modu inplizituan adierazten bada eragiketa zailagoa izango da (adibidez: y3 + xy + 2x = 5, funtzio horretan y deribatu behar da).

Hasteko, deribatu hori egin ahal izateko, y bakandu behar da. Batzuetan, eragiketa hori oso zaila da, beraz komenigarria da honako prozedura aplikatzea:

  • Ekuazio inplizituaren bi atalak deribatu.
  • Ondoriozko ekuazioaren y' bakandu. Hortik lortzen den emaitza funtzio inplizituaren deribatua izango da.

Deribatuen taula

Hainbat funtzio deribatuen formulak (funtzio potentzialak, esponentzialak, logaritmikoak eta trigonometrikoak) eta deribazioen propietateak aplikatzen baditugu, oso erraz lortuko dugu edozein funtzio esplizituren deribatua. Ondoren ipinitako taulan deribatuen arau orokorrak aurkitzen dira.

Funtzio arrunten deribatuen taula:

Funtzio horietatik abiatuta eta deribatuen propietateak eta arauak aplikatuz gero, deriba daiteke egitura konplexuagoa duen edozein funtzio:

e zenbakia

Funtzio esponentzialen sinplifikazioa da, deribatu aurretik. e zenbakiaren definizioa funtsezkoa da, eta normalean ondorengo formularen bidez adierazten da:

Ondoren, adierazten den e zenbakiaren formula ez da hain arrunta, baina oso eraginkorra da sinplifikazioak egiteko.

 

Sinua angelurainoko gerturatzea

Oso balio gutxi duten angeluei dagokionez, angeluaren sinua angeluari berari gertura daiteke. Ondorioz, honakoa edukiko dugu: