MATEMATIKA

Funtzioen azterlana

Ohizko arazoen planteamenduan askotan erabiltzen dira gertaerak deskribatzen dituzten funtzio matematikoak optimizatu behar direnak. Horretarako, funtzioaren puntu bereziak ikertzen hasten da eta puntu horien goranzko eta beheranzko joerak aztertzen dira esparru zehatz baten barnean.

Eremua, simetriak eta ardatzekiko ebakidura

Funtzio bat aztertzeko, egin ohi den lehenengo gauza definizio eremua zehaztea da, hau da, funtzioak balio erreala izateko aldagaiak hartu behar dituen balioen multzoa.

Ondoren, funtzioan egon daitezkeen simetriak eta periodikotasunak ikertzeari ekiten zaio eta funtzioak ardatzekin dituen ebakidura puntuak zehazten dira:

  • f (x) funtzioa koordenatu ardatzaren jatorriarekiko simetrikoa da f (-x) = - f (x) betetzen bada, eta ardatz bertikalarekiko simetrikoa izango da f (-x) = f (x) denean. Beste simetria mota batzuk zehazteko, erreferentzi sistemaren ardatzen biraketak eta translazioak egin daitezke, dagokien norazkoan.

Funtzio simetrikoen adibideak.

  • Funtzio bat periodikoa izango da, aldagaiaren balioaren tarte finkoetan errepikatzen bada, hau da, f (x) = f (x + p) = f (x - p) = f (x + -p) = f (x - 2p) = ... bada, p funtzioaren periodoa izanik.
  • Funtzio batek ardatz horizontalarekin duen ebakidura f (x) = 0 eginez eta ondoriozko ekuazioa ebatziz zehazten da. Ardatz bertikalarekiko ebakidura aldagai askeak baliogabetzen duen y = f (0), funtzioaren balioa kalkulatuz lortuko da.

Haztea eta gutxitzea

Funtzio bat aztertzeko orduan garrantzitsua den beste alde bat funtzioaren goranzko edo beheranzko joerak ikertzea da. Funtzio bat hertsiki gorakorra izango da (a, b) tartean, tarte horretako edozein bi puntutarako, x1 eta x2, hurrengoa egiaztatzen denean: x1 < x2, bada, orduan f (x1) < f (x2). Era berean, hertsiki beherakorra izango da tartean, honako hau betetzen bada: x1 < x2, bada, orduan f (x1) > f (x2).

Funtzio deribagarria, (a, b) tartean hartuz, honela izango da:

  • Gorakorra tartean, bere deribatua positiboa bada tartearen puntu guztietarako.
  • Beherakorra, bere deribatua negatiboa denean tartearen puntu guztietarako.
  • Konstantea, deribatua nulua bada tarte osoan.

Maximoak, minimoak eta inflexio puntuak

Funtzioaren goranzko joera puntu batzuetan aldatzen da; funtzio baten eremuaren puntu horiek maximo eta minimo erlatiboak deitzen dira.

  • Tarte batean maximo erlatiboa funtzioa gorakorra izatetik beherakorra izatera aldatzen den tartearen puntua da.
  • Tarte batean funtzio baten minimo erlatiboa funtzioa beherakorra izatetik gorakorra izatera aldatzen diren tartearen puntuak dira.

Funtzio deribagarri baten maximo eta minimo erlatiboen kokapena tarte batean doi-doi zehazteko, hurrengo analisia egingo da:

  • Funtzioaren lehenengo deribatua aztertutako puntuan nulua izan beharko da: [f ' (a) = 0].
  • Bigarren deribatua positiboa bada [f ? (a) > 0], puntua minimo erlatiboa da.
  • Bigarren deribatua negatiboa bada [f ? (a) < 0], puntua maximo erlatiboa da.

Bigarren deribatu hori nulua bada, hirugarren deribatua aztertuko da, hurrengo aukerak daudela:

  • Hirugarren deribatua zeroa ez denean [f ?? (a) ¹ 0], inflexio puntu bat izango da, hau da, kurbaren ahurtasuna aldatzen den puntua (46. gaia ikusi).
  • Hirugarren deribatu hori ere nulua izatekotan, ordena goreneko deribatuak aztertu beharko dira, puntua maximoa, minimoa edo inflexio puntua den zehazteko.

Funtzioak optimizatzeko arauak

Arazo erreala deskribatzen duen funtzio matematiko bat optimizatzeko, normalean hurrengo arau praktiko operatiboak aplikatzen dira:

  • Aztertutako funtzioaren adierazpen algebraikoa zehazten da, arazoaren datu erabilgarrien arabera.
  • Adierazpen hori sinplifikatu egiten da, aldagai bakarreko funtzio batera murriztu arte
  • Maximo, minimo eta beste puntu singular batzuen kokapena aztertzen da.
  • Emaitzak interpretatzen dira, arazoak zehaztutako testuinguruaren barnean.

Adibideak

Adibide honetako funtzioa ez dago zehaztuta x = 3 eta x = -3 puntuetan. Ondorioz, bere definizio eremua honako hau da: D = R - {-3, 3}.

Sinu funtzioak funtzio periodikoaren adibidea eskaintzen du, bere balioak 2pko distantziak banandutako aldagaiaren puntuetan errepikatzen baitira doi-doi.

 

Monotonia- tarteak

Funtzio baten puntu kritikoen irudikapena tarte batean.

Definizio eremuaren barnean, funtzioaren monotonia- tarteak funtzioa hertsiki gorakorra (monotono gorakorra) edo hertsiki beherakorra (monotono beherakorra) den aldagaiaren balioen segidako hurrenkera dira.