MATEMATIKA

Integral mugatua

Hasieratik, integralaren kontzeptuak lerro eta azal kurbatuen azpian subtenditutako arloak neurtzeko metodoak hobetzeko beharrari erantzun dio. Integratzeko teknika XVII. mendetik aurrera garatu zen batez ere, deribatu eta kalkulu diferentzialari buruzko teorietan gauzatutako aurrerapenekin batera.

Integral mugatuko kontzeptua

Integral mugatua kurbek eta zuzenek mugatutako arloen balioa zehazteko erabiltzen den kontzeptua da. [a, b] tartea egonda (tarte horren x puntu bakoitzerako, 0 baino handiagoa edo berdina den f (x) funtzio bat zehazten da [a, b] tartean), a eta b puntuen arteko funtzioaren integral mugatua izango da funtzioak, OX ardatz horizontalak eta x = a eta x = b ekuazioen zuzen bertikalek mugatutako planoaren neurriaren arloa.

[a, b] tartearen muturren arteko funtzioaren integral mugatua honela adierazten da:

Integral mugatuaren propietateak

Integral mugatuak honako propietate hauek ditu:

  • Puntu bakarreko ( [a, a] ) tarte batean hedatutako edozein integral zero da.
  • f (x) funtzioa zero baino handiagoa denean, bere integrala positiboa da; funtzioa zero baino txikiagoa bada, bere integrala negatiboa izango da.
  • Funtzioen batuketa baten integralaren emaitza eta funtzioen integralak banan-banan batzetik ondorioztatzen dena bera dira.
  • Konstante bat bider funtzio bat eragiketatik ondorioztatutako integralaren emaitza eta konstantea bider funtzioaren integrala egitearena bera dira (hau da, integralaren konstantea «atera» daiteke).
  • Integral baten limiteak permutatzean, integrala zeinuz aldatuko da.
  • a < b < c, motako hiru puntu egonda, orduan hauxe betetzen da (zatikako integrazioa):

  • f (x) £ g (x) motako f (x) eta g (x) bi funtzioak aplikatutako [a,b] tartearen edozein x puntutarako, honako hau egiaztatzen da:

Funtzio integralaren edo arlo funtzioaren interpretazio geometrikoa.

Funtzio integrala

Jarraiko funtzioa [a, b] tartean dagoela eta x Î [a, b] balioa kontuan hartuta, hurrengo motako funtzio matematikoa zehaztu daiteke:

Okerrik ez sortzeko aldagai askearen notazioa aldatu da x-tik t-ra. F(x)-z sinbolizatu ohi den funtzio horrek funtzio integral edo arlo funtzioa izena hartzen du, f [a, b] tartean zero baino handiagoa edo berdina denean, F (x)-k arloa ematen digulako.

Funtzio integralaren edo arlo funtzioaren interpretazio geometrikoa.

Kalkulu integralaren oinarrizko teorema

Deribatu eta integral mugatuaren arteko harremana kalkulu integralaren oinarrizko teorema izenekoaren bidez behin betiko ezarrita geratu da. Teorema horrek honakoa esaten du: f (x) funtzioa egonda, bere F (x) funtzio integral elkartuak hurrengoa beteko du derrigorrean:

Kalkulu integralaren oinarrizko teorematik hasita, [a, b] tartean f (x) funtzio baten integral mugatua kalkulatzeko metodo bat zehaztu daiteke, Barrowren araua izenekoa, hain zuzen ere:

  • Hasteko, F' (x) = f (x) egiaztatzen duen F (x) funtzio bat bilatuko da.
  • Funtzio horren balioa kalkulatuko da tartearen muturretan: F (a) eta F (b).
  • Bi puntu horien arteko integral mugatuaren balioa honako honek zehaztuta egongo da:

Integral mugatuaren notazioa

Integral mugatuaren notazioa.

 

Integralaren ikurra

Alemaniako Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) matematikari eta filosofoak integratzeko eragiketa adierazteko ikurra asmatu zuen. Izan ere, horren bidez kurba baten azpian kokatutako ordenatu diferentzialen batuketari erreferentzia egin nahi zion. Beraz, ? s estilizatu bat baino ez da, s-a baita batuketa hitzaren hasierako letra zenbait hizkuntzatan.

Zeinu aldakorreko funtzioen integral mugatua "zatika" kalkulatzen da. Marraztutako arloa, berriz, honako hau da:

 

Henri Lebesgue

Frantziako Henri Lebesgue (1875-1941) matematikaria nahitaezkoa izan zen, kalkulu integrala sistematizatzeko eta natur eta ekonomi zientziei buruzko teoria modernoetara aplikatzeko.