MATEMATIKA

Integral mugagabeak

Integral mugagabearen ideia aurrerapauso bat izan zen matematika modernoek hasitako abstrakzio bidean. Horri esker, integrala jada ez zen bakarrik erabiltzen kurbek eta zuzenek osatutako arloak zehazteko eta berezko funtzioaren izaera hartu zuen, horrela ekuazioetan eta ereduen deskribapenetan agertzen zen analisi matematikoaren teorien esparru zabalaren barruan.

Jatorrizkoak

f (x) funtzioa egonda, F (x) funtzioa horren jatorrizkoa dela esango da, F' (x) = f (x) egiaztatzen bada. Emandako funtzio baten jatorrizkoa lortzeko egin behar den eragiketari integrazioa esaten zaio eta deribazioaren alderantzizko eragiketa da.

Definizio horretatik ulertzen da f (x) funtzioak jatorrizko funtzio mugagabeak dituela: F (x) f (x) funtzioaren jatorrizkoa bada, G (x) = F (x) + C (C balio konstantea izanik) bezala zehaztutako beste edozein funtzio mugatu ere horren jatorrizkoa izango da.

Emandako f (x) funtzio baten jatorrizko funtzio guztien multzoari integral mugagabea esaten zaio eta orokorrean, honela adierazten da:

Funtzio baten jatorrizkoek euren artean bertikalki bananduta dauden kurben familia osatzen dute. Horrela, f (x) = x funtzioak konstante batean bat ez datozen jatorrizko funtzio mugagabeak ditu, eskuineko irudian agertzen den bezala.

Jatorrizkoen propietateak

Deribazioaren (43 .gaia ikusi) propietateak aplikatuta, integrazioaren propietate komun batzuk zehatz daitezke. Hurrengo linealtasun propietateek integral konposatuak errazagoak diren beste integral batzuetan banatzeko balio dute:

  • Bi funtzioen batuketaren (edo kenketa) integralak eta funtzio bakoitzaren integralen batuketak (edo kenketa) emaitza bera dute.

  • Konstante bat funtzio batez biderkatzetik ondorioztatutako biderkaduraren integrala eta konstantea funtzioaren integralaz biderkatzetik ondorioztatutako biderkadura bera dira.

Berehalako integralen taula

Hurrengo taulan zenbait funtzio komunen integrazio arauak laburbilduta daude. Oro har, berehalako integralak esaten zaie taula horretatik eta integrazioaren linealtasun propietateetatik zuzenean ondorioztatzen direnei.

Berehalako integralen taula.

Ikur diferentziala

Hasieran ikusita, badirudi integralen notazioan integrakizuna ixten duen dx ikurra funsgabea dela. Hala ere, ez da horrela, inolako zalantzarik gabe integratuko den aldagaia nabarmentzeko erabiltzen baita. Horrela, adibidez, bi aldagairen adierazpen honetan:

integrazioa t aldagaian egingo da, ez x-an.

 

Antideribatua

Integrazioa eta deribazioa alderantzizkoak dira euren artean. Horrela, funtzio bat deribatu eta gero integratzen bada, jatorrizko funtzioa izango dugu berriro (gehi konstante bat). Horregatik, antideribatua deitu ohi zaio funtzio baten integral mugagabeari.

 

Berehalako integral bihurtzea

Normalean, badirudi integrazio baten integrakizuna berehalako integralen taulan ez dagoen funtzioa dela. Hala ere, batzuetan integrakizun horretan eragiketa aritmetiko erraz batzuk baino ez dira egin behar (berreturak kentzea, formula trigonometrikoak aplikatzea, zatikiak arrazionalizatzea eta abar) berehalako integral bat lortzeko.

 

Logaritmoa bilatzea

Integral bat berehalako integral bihurtzeko trikimailuetako bat «logaritmoa bilatzea da», askotan erabiltzen dena. Integrakizuna eraldatu ahal bada izendatzailearen deribatua den zenbakitzailea izanda, integrala berehalakoa izango da: bidezko funtzioaren logaritmo neperianoa.