Integrazio-metodoak
Ordezkapen-metodoa
Integral korapilatsuak kalkulatzeko metodorik hedatuenetakoa aldagai-aldaketa edo ordezkapen-metodoa da. Teknika honen bidez, t aldagai berria sorrarazten da integrakizunean; horrela lortutako adierazpenaren integrazioa errazagoa izango da. Adibidez, ondoko integral hau:
t = sen x aldaketa aplikatuz gero, integrakizuna nabarmen erraztuko da. Beraz, dt = cos x dx izango da, eta orain integrala ondokoa izango da:
Azkenik, aldaketa deseginda, ondokoa izango da integralaren azkeneko emaitza:
Zatikako integrazio-metodoa
Zatikako integrazio-metodoaren bidez funtzioen arteko biderketa baten integrala errazten da; funtzio-biderketa hori u (x) × v’ (x) motakoa da. Hona zatikako integrazioaren formula:
Azaleren kalkulua
Funtzio jarrai batek f (x) ³ 0 " x Î [a, b] betetzen badu, [a, b] tarteko muturren artean funtzio horren integralak eta honako hauek mugatzen duten azalerak balio bera dute: funtzioa bera, ardatz horizontala eta tartearen bi muturrek definitzen dituzten zuzenak, x = a eta x = b ekuaziokoak, hain zuzen.
Halaber, printzipio hau, hainbat kurbak mugatutako azalera kalkulatzeko erabil daiteke, beraien arteko batuketen eta kenketen bitartez.
[a, b] tartean, f (x) funtzioaren integralak eta R azalerak balio bera dute.
Hala definiturik, [a, b] tartean f (x) ³ 0 bada, azalera positiboa da, eta tarte berean f £ 0 bada, ordea, negatiboa da. Funtzioaren zeinua aldakorra denean, ardatz horizontalaren gainean dituen zatiek balio positiboak gehituko dizkiote osoko azalerari. Ardatz horizontalaren azpian daudenek, berriz, balio negatiboak gehituko dizkiote.
Bi kurbek mugatutako azalera. Arrazoi geometrikoak direla eta, ebaketaren azalera kalkulatzeko, [-1, 1] tarteko f (x) funtzioaren integralaren balioari tarte bereko g (x) funtzioarena kenduko zaio.
Zenbakizko integrazioa
Batzuetan, integral mugatu baten kalkulua oso konplikatua da, ia askaezina. Horrelakoetan, zenbakizko integrazio hurbilduaren metodoa aplika daiteke: definizio-tartea azpimultzo berdinetan banatzen da, haien irudiak kurbaren gainean marrazten dira eta irudi-puntuak zuzenkien bitartez lotzen dira.
f (x) hasierako funtzioa bada eta [a, b] integrazio tartea, berau h zabalerako n azpitartetan banatuko da , non a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b den. Orduan, f(x) kurbak mugatutako azaleraren balio hurbildua ondorengo formularen bitartez kalkula daiteke:
Honi trapezioen erregela deritzo. Argi ageri denez, azpitarte-kopurua zenbat eta handiagoa den, lortutako balioa gero eta hurbilago egongo da azalera errealetik.
Funtzio baten azaleraren hurbilketa zenbakizko integrazioaren bitartez.
Ordezkapenaren bidezko metodoa
Ordezkapen metodoa (aldagai aldaketa) aplikatzeko ondorengo pausuak bete behar dira:
- x-en adierazpenaren ordez integratzeko errazagoa den beste aldagai batez baliatu (t).
- t ezberdindu eta dx adierazi dt-ren menpe.
- x eta dx adierazpenen ordez t eta dt erabili integrakizunean.
- Integral berria askatu.
- Aldagai aldaketa desegin.
Aldagaien aldaketarik ohikoenak
Integralen zeinua.
Ez dago erregela finkorik aldagai-aldaketa erabiltzeko; hala ere, metodo egokia da ondorengo kasuetan:
· Aldagaiaren adierazpen baten sinuak eta kosinuak agertzen direnean.
· e u(x) motako faktoredun adierazpenak agertzen direnean.
· Adierazpen arrazional bat 1/(a + bx 2 ) bezala adieraz daitekeenean. Kasu horretan arku tangente bilatuko da. Bestalde, bezala adieraziz gero, arku sinu edo arku kosinu bilatuko dira.
Zatikako integrazioaren formula hobeto gogoratzeko, baliabide mnemotekniko bat erabili ohi da, formularen elementu bakoitzaren ordez hitz bat jarriz, esaldi hau osatu arte: « Si un día viera un verde soldado vestido de uniforme ».
