MATEMATIKA

Probabilitatea: kontzeptuak

Lege deterministei esker, iragarri egin daiteke naturako fenomeno askoren bilakaera, gorputz baten erorketa askea lurrazalean, kasu. Batzuetan, ordea, fenomenoak zorizkoak dira, beti egoera edo baldintza berberetan gertatzen diren arren, adibidez: dado bat jaurtirik, zein zenbaki aterako da? Zorizko gertaerei aleatorio edo estokastiko esaten zaie, eta haien bilakaera probabilitateen kalkuluaren bidez aztertzen dira.

Gertaera estokastikoak

Hala definiturik, esperimentu aleatorioek -estokastikoak edo estatistikoak ere deituak- emaitza desberdinak izan ditzakete, baldintzak berberak izanda ere. Esperimentu aleatorioen ohiko adibide da txanpon edo dado bat gora jaurtitzea.

Esperimentu aleatorio baten emaitza bakoitzari gertaera elementala deitzen zaio, eta lagin-espazioa esaten zaio esperimentu horren ondorioz izan daitezkeen gertaera elemental guztien multzoari. Adibidez, dado bat jaurtitzearen lagin-espazioa honakoa da: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lagin-espazioaren azpimultzo bakoitzari gertaera estokastiko esaten zaio. Honakoak dira gertaera mota horretako batzuk:
  • Gertaera ziurra: beti gertatzen da. Matematikoki, bat dator E lagin-espazioarekin.
  • Gertaera ezinezkoa: ez da inoiz gertatzen. E-ren Ø ?azpimultzoari dagokio (espazio hutsa).
  • Gertaera baten aurkako gertaera edo osagarria: A gertaera betetzen bada, bere osagarria den ez da gertatzen, eta alderantziz. Matematikoki: = E - A.
  • Bi gertaera estokastikok gertaera elementalen bat komunean badute, bateragarri esaten zaie; ez badute, bateraezin esaten zaie.

Gertaerekin egindako eragiketak

Gertaera estokastikoek osatzen duten E lagin-espazioan hainbat eragiketa mota ditugu:

  • A eta B gertaeren bilketa: A eta B-ren gertaera elemental guztiak biltzen dituen gertaera estokastikoa. Bere adierazpena A È B da. Bi gertaera osagarriren bilketa A È = E lagin-espazioa da.
  • A eta B gertaeren ebaketa: soilik biltzen ditu A eta B-k komunean dituzten gertaera elementalak. Bere adierazpena A Ç B da. Bi gertaera bateraezinen ebaketa Æ gertaera ezinezkoa da.
  • A eta B gertaeren diferentzia: beste gertaera bat da (A-koa izanik B-koa ez den edozein gertaera elemental). Bere adierazpena A - B da.
  • Gertaeren inplikazioa: Gertaera estokastiko batek (A) beste bat (B) inplikatzen du, baldin eta A gertaera B-ren azpimultzoa bada, hau da, A betetzen den guztietan B ere betetzen bada: (A Ì B).

Gertaerekin egindako eragiketen propietateak.

Gertaera baten probabilitatea

Esperimentu aleatorio batean, probabilitate izeneko funtzioak adierazten du zenbat aldiz gerta daitekeen esperimentuan gertaera estokastiko bakoitza, 1 zenbakiak probabilitate handiena adierazten duelarik. Beraz, esperimentu aleatorioan, probabilitatearen balioak gertaera estokastiko bakoitzaren maiztasun erlatiboa adieraziko du.

Probabilitate funtzioaren adierazpena P (A) da, eta honako ezaugarriak ditu:

  • Gertaera ziurraren probabilitatea 1 da: P (E) = 1.
  • Gertaera ezinezkoaren probabilitatea 0 da: P (Æ) = 0.
  • Edozein gertaeraren probabilitatea 0 eta 1 bitartean dago: 0 £ P (A) £ 1.

Probabilitate funtzioaren propietateak

Hona hemen probabilitate funtzioaren beste propietate interesgarri batzuk:

  • Multzo bateko gertaerak binaka bateraezinak badira, bikote bakoitzeko gertaeren bilketaren probabilitatea gertaera bakoitzaren probabilitatearen batura da:

  • Aurkako gertaeraren probabilitatea honela adierazten da: P () = 1 - P (A).
  • Bi gertaera bateragarriak badira, honakoa da haien bilketaren probabilitatea: gertaera bakoitzaren probabilitatearen baturari bien arteko ebaketaren probabilitatea kentzen zaio, hau da:

    P (A È B) = P (A) + P (B) - P (A Ç B)

Bi gertaera bateragarriren bilketa eta ebaketa: irudikapen grafikoa.

  • Laplaceren arauak dioenez, n elementuko lagin-espazio batean gertaera estokastiko bat probabilitate bera duten h gertaera elementalez osatuta badago, gertaera estokastikoaren probabilitatea kalkulatzeko zatidura bat egin behar da, gertaeraren aldeko kasu kopuruaren (h) eta kasu posibleen kopuruaren (n) artean:

Blaise Pascal

Blaise Pascal matematikari eta filosofo frantziarra (1623-1622). Garapen handiak ekarri zituen kalkuluaren eta ingeniaritzaren alorretara (kalkulatzeko makina automatiko bat asmatu zuen). Probabilitateen teoriaren sortzailetako bat da.

 

Adibideak

Aurkako gertaeren edo gertaera osagarrien adibidea.

Gertaera estokastiko bateraezinen adibidea.

Gertaeren bilketaren adibidea: zenbaki bikoitia edo zenbaki lehena ateratzea

A = { 2, 4, 6}
B = { 2, 3, 5}
A È B = {2, 3, 4, 5,6}

Gertaeren ebaketaren adibidea:
bikoitia eta lehena den zenbaki bat ateratzea:

A = { 2, 1, 4, 6}
B = { 2, 3, 5}
A Ç B = {2}

Laplaceren arauaren adibide praktikoa:

A = «Bikoitia ateratzea»