Probabilitate baldintzatua eta konposatua
Probabilitate baldintzatua
Lagin-espazio berean gertaera estokastikoak jarraian ditugunean, oro har, egoera bi eratakoa izan daiteke:
- Ez dago inolako loturarik gertaeren artean, hots, gertaera batek ez du eraginik bestean.
- Gertaera bakoitzaren emaitzak eragina du ondorengoan.
Gertaera batek A eragina badu B gertaeraren emaitzan, B-ren probabilitateari probabilitate baldintzatua esaten zaio; probabilitate horren adierazpena P (B / A) da, eta haren balioa honako hau:
Esperimentu konposatuak
Esperimentu aleatorio konposatua deitzen zaio zenbait esperimentu aleatorio bakunek osatutakoari. Oro har, esperimentu konposatu bati probabilitate konposatu bat dagokio, eta berau -biderkaduraren probabilitatea ere deitua- honela adierazten da: P (A Ç B) edo P (AB). Probabilitate baldintzatuaren definizioaren arabera, menpeko bi esperimentu sinplek osatutako probabilitate konposatuaren balioa honela kalkulatzen da:
Txanpon bat hiru aldiz gora jaurtitzea esperimentu konposatua da, eta gainekoa zuhaitz-diagrama.
Esperimentu konposatu bateko gertaerak askeak badira, honakoa betetzen da: P (A Ç B) = P (A) × P (B). Esperimentu konposatuak hiru esperimentu bakun baditu, aurreko formula hori aldatu egingo da:
A, B eta C menpekoak badira:P (A Ç B Ç C) = P (ABC) = P (A) × P (B/A) × P (C/A Ç B)A, B eta C askeak badira: P (A Ç B Ç C) = P (A) × P (B) × P (C)
Probabilitate osoa
Esperimentu bateko gertaera elementalak ez badagozkio lagin-espazio osoari, beraren azpimultzo bati baizik, probabilitateen kalkulua konplexuagoa da. Aurrekoaren ohiko adibide gisa, hiru poltsa desberdinetatik bolak ateratzen ditugu, hiru poltsetan bola-multzo ezberdinak utzirik. Zenbateko probabilitatea dago ateratako boletako bat kolore zehatz batekoa izateko?
Horrelakoetan, probabilitate osoaren teoremaz baliatzen gara. Horren arabera, E lagin-espazioa n gertaera bateraezinek osatuta dago (A1, A2, …, An ), beraz E = A1 È A2 È … È An, izango da; orduan, gertaera bat (B) aztertzen badugu (A1, A2, …, An-ren probabilitate guztiak jakinik, eta Bren probabilitate baldintzatuak (p(B/Ai)i=1,2,...,n ere jakinik), ondokoa ondorioztatuko da:
Goiko zuhaitz-diagramak erakusten duen esperimentuan bola gorri bat (R) ateratzen da hiru poltsetako batetik: lehenengo poltsan 2 bola gorri eta 3 beltz daude; bigarrenean, 3 bola gorri eta 7 beltz, eta hirugarren poltsan 4 bola gorri eta 4 beltz daude.
Bayesen teorema
Jada gertatua den fenomeno baten probabilitateari a posteriori probabilitatea esaten zaio. Demagun, adibidez, bola bat hainbat poltsatako batetik ateratzeko esperimentuan badakigula bola gorri bat aterea dela: baina, zein poltsatatik atera dugu bola? Erantzuna a posteriori probabilitateen legeak emango digu.
E lagin-espazioa n gertaera bateraezinek osatuta dago (A1, A2, …, An ), beraz E = A1 È A2 È … È An, izango da; orduan, gertaera bat (B) aztertzen badugu (B-ren probabilitatea jakinik -inoiz ere zero izango ez dena-, eta Ai bakoitzaren a posteriori probabilitatea ere jakinik - i = 1, 2, …, n izanik-), ondoko hau lortuko da Bayesen teoremaren bidez:
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat matematikari frantziarra (1601- 1655). Teorema eta frogapen finak osatu zituen, eta eragin nabarmena izan zuen zientzia modernoen garapenean. Blaise Pascal eta Pierre-Simon de Laplace ere herrikideekin batera, probabilitateen kalkuluaren asmatzaileetako bat da.
Probabilitatearen adierazpena
Gehienetan, probabilitatearen zenbatekoa adierazteko 1 zenbakiaz baliatzen gara (adibidez, 0,6). Hala ere, egunerokoan ehunekoa erabili ohi dugu, eta ildo horretatik honelakoak esaten ditugu gaixotasun batez ari garenean: «horrek %80 du bere alde erabat sendatzeko».
Probabilitatea eta genetika
Probabilitateen legeek zerikusi handia izan zuten genetika biologiaren adartzat hartua izan zedin. 1865ean, Gregor Mendel lekaide austriarrak (1822-1884) ilarretako kotiledoien kolorea aztertu zuen, baita nola zabaltzen zen ezaugarri hori landare bakoitzetik bere ondorengoetara ere. Bere ikerketa-lanetan argi azaldu zen zoria faktore nagusia zela transmisio modu horretan; ikerketatako emaitzak aztertzean probabilitateen kalkuluaz baliatu zen.
Jacques Bernoulli
Jacques Bernoulli (1654- 1705). Matematikari bikainak izan zituen bere familian; bere anaia Jeanekin batera aurkikuntza garrantzitsuak izan zituen kalkulu diferentzialaren alorrean. Ars Conjectandi izeneko lanean, probabilitateen teoriaren oinarriak eta aukerak azaldu zituen.
