MATEMATIKA

Probabilitate-banaketa

Esperimentu aleatorio bat aztertzen denean, probabilitate-faktoreak, berezko bilakaera jarraitzen dutenak, agertzen dira. Hori dela eta, horrelako esperimentuei aplikatzen zaien «probabilitate-funtzioa»k forma desberdinak izan ditzake, baita printzipio desberdinen arabera bilakatu ere. Funtzio hori aztertzean ulergarriago agertzen da esperimentuari lotutako fenomenoa, fisikoa edo gizarte alorrekoa izan ere.

Aldagai aleatorioak

Esperimentu aleatorio batean, definitzen den aplikazioaren bidez zenbaki bat egokituko zaio lagin-espazioko gertaera estokastiko bakoitzari. Aplikazioari aldagai aleatorio deitzen zaio, eta aldagai aleatorioak har dezakeen balio-multzoa haren ibilbidea da. Ibilbidearen elementu-kopuruaren arabera, aldagai aleatorioak honako era batekoak edo bestekoak izango dira:

  • Aldagai aleatorio jarraituak, ibilbide infinitua du. Non aplikazioari egokitzen dion zenbakia, R zenbaki errealen multzoan baitago.
  • Aldagai aleatorio diskretua aurretiaz emandako balio-kopuru finitu baten emaitza da, beraz, ibilbide finitua du.

Definizioari dagokionez, oro har, aldagai aleatorio diskretu bat f (xi) aplikazio bat da, non honako hau betetzen baita:

Adierazpen honen izen arruntenak dira probabilitate-banaketa edo probabilitate-funtzioa.

Aldagai aleatorio diskretuaren adibidea: bi dado jaurtirik, bietako puntuen baturak balio-multzo finitua du.

Banaketa-funtzioa

X aldagai aleatorio bat emanda, banaketa-funtzioak egokitzen dion probabilitatearen arabera, aldagai aleatorioaren balioa xi -ren bestekoa edo txikiagoa izango da, hots:

X aldagai aleatorio diskretu edo jarrai baten banaketa-funtzioa baldin badakigu, F (x), aldagai aleatorio horren balioak (a, b] tartekoak izateko probabilitatea beti izango da honako hau:

Itxaropen matematikoa

Esperimentu aleatorio batean, aztertzen ari den aldagai aleatorioaren balio bakoitza bere probabilitateaz biderkatzen bada, eta horrela lortutako emaitza guztien batura egiten bada, itxaropen matematikoa lortuko da.

X aldagai aleatorioa diskretua bada, itxaropen matematikoaren balioa ondokoaren emaitza izango da:

Aldagai aleatorioa jarraitua bada, balio-kopuru infinitua izango du; beraz, balioen batura integral bat izango da:

f (x) aldagai aleatorio jarraituren dentsitate-funtzioa izango da.

Bariantza eta desbideratze tipikoa

Batezbesteko itxaropena zentrorako joera duen balio bat da, aldagai estatistikoaren batezbesteko balioa, alegia. Aldagai estatistikoaren balioak erdigunearen inguruan biltzen diren edo harengandik sakabanatzen diren jakiteko, beharrezkoa da bariantzaren balioa erabiltzea batezbesteko itxaropenaren balioa osatzeko.

Aldagai aleatorio diskretuetan, bariantza honela kalkulatzen da:

Aldagai aleatorio jarraituetan, balio-kopurua infinitua da; beraz, aurreko formularen batura integral bat izango da.

f(x) aldagai aleatorio jarraituaren dentsitate-funtzioa izango da.

Bariantzaren erro karratuari desbideratze tipikoa deitzen zaio:

Kasuak

Aldagai aleatorio diskretu baten banaketa-funtzioak beti du itxura mailakatua.

Aldagai aleatorioaren balioa a baino handiagoa eta b baino berdin edo txikiagoa izateko probabilitatea honako hauek mugatutako azalera da: f (x) probabilitate-banaketa, OX ardatza eta "a"-k eta "b"-k zehaztutako zuzenak (x = a, x = b).

 

Itxaropena

"Itxaropen matematikoa" izena zori-jokoetatik dator. Jokalariek antzeko aukerak izan ditzaten, guztiek itxaropen bera izan behar dute, alegia, jokoaren iraupen luzeagatik altxaldi kopurua oso altua balitz, jokalari guztiek izan beharko lituzkete irabazi eta galera berberak.

 

Banaketa uniformeak

Aldagai aleatorio baten banaketa uniformea izan dadin, aldagaiak diskretua izan behar du, n balioak izango ditu eta haren probabilitate-funtzioa honelakoa izango da: P (X = xi) = 1/n. Banaketa uniformea asma daitekeen sinpleena da.

 

Dentsitate-funtzioa aldagai aleatorio jarrai batean

Aldagai aleatorio jarraitu baten kasuan, probabilitate-funtzioaren kurbari probabilitate-kurba edo dentsitate-funtzioa deitzen zaio eta f (x) bezala adierazten da. F' (x) = f (x) frogaturik geratzen da.